Buktikan dengan induksi matematika Untuk setiap bilangan asti n >= 4 akan berlaku 2 ^ n < n! dengan n!= 1 * 2 * 3 *....n.

Untuk membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli \( n \geq 4 \), akan berlaku \( 2^n < n! \), kita dapat menggunakan **induksi matematika**. Proses induksi matematika terdiri dari dua langkah utama: **basis** dan **langkah induksi**.

### Langkah 1: Basis Induksi

Kita mulai dengan membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk \( n = 4 \).

Untuk \( n = 4 \):

\[
2^4 = 16
\]
\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]

Karena \( 16 < 24 \), maka pernyataan benar untuk \( n = 4 \).

### Langkah 2: Langkah Induksi

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu \( n = k \geq 4 \), yaitu:

\[
2^k < k!
\]

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa pernyataan juga berlaku untuk \( n = k+1 \), yaitu:

\[
2^{k+1} < (k+1)!
\]

Dari asumsi induksi, kita punya \( 2^k < k! \). Sekarang kita coba mengekspresikan \( 2^{k+1} \) dan \( (k+1)! \).

\[
2^{k+1} = 2 \times 2^k
\]
\[
(k+1)! = (k+1) \times k!
\]

Dengan demikian, untuk membuktikan \( 2^{k+1} < (k+1)! \), kita harus menunjukkan bahwa:

\[
2 \times 2^k < (k+1) \times k!
\]

Karena kita sudah tahu dari asumsi induksi bahwa \( 2^k < k! \), kita bisa kalikan kedua ruas dengan 2:

\[
2 \times 2^k < 2 \times k!
\]

Maka sekarang kita cukup membuktikan bahwa:

\[
2 \times k! \leq (k+1) \times k!
\]

Ini bisa disederhanakan menjadi:

\[
2 \leq k+1
\]

Karena \( k \geq 4 \), jelas bahwa \( 2 \leq k+1 \), sehingga pernyataan ini benar.

### Kesimpulan

Dengan demikian, pernyataan \( 2^n < n! \) benar untuk \( n = k+1 \), dan dengan induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli \( n \geq 4 \), berlaku \( 2^n < n! \).

---

Ada pertanyaan atau butuh penjelasan lebih lanjut? 

Berikut 5 pertanyaan terkait yang mungkin membantu pemahaman lebih lanjut:
1. Bagaimana cara membuktikan ketidaksamaan lain menggunakan induksi matematika?
2. Apa kegunaan induksi matematika dalam konteks teori bilangan?
3. Bagaimana kita membuktikan formula rekursif menggunakan induksi?
4. Dapatkah induksi matematika digunakan untuk pembuktian rumus non-aljabar?
5. Apa perbedaan antara induksi biasa dan induksi kuat?

**Tip:** Saat menggunakan induksi matematika, pastikan untuk selalu memeriksa kasus dasar dengan teliti, karena kesalahan di sana dapat mempengaruhi keseluruhan bukti!

Buktikan dengan induksi matematika Untuk setiap bilangan asli n >= 4 akan berlaku 2^n < n! dengan n! = 1 * 2 * 3 *....n.

Pelajari cara membuktikan ketidaksamaan 2^n < n! untuk bilangan asli n >= 4 menggunakan induksi matematika. Solusi ini mencakup dasar induksi, langkah induksi, serta aplikasi dari konsep faktorial dan eksponensial. Cocok untuk siswa di tingkat SMA (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation