Diketahui persamaan parabola $y = ax^2 + bx + c$, dengan syarat $a > 0$ dan $a+b+c$ adalah bilangan bulat. Titik balik parabola berada pada koordinat $\left(\frac{3}{2}, -\frac{10}{9}\right)$.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Menentukan Koordinat Titik Balik

Titik balik parabola dengan persamaan $y = ax^2 + bx + c$ berada di $x = -\frac{b}{2a}$.

Karena titik balik berada pada $x = \frac{3}{2}$, kita dapat menuliskan: $-\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}$ Kalikan kedua sisi dengan $2a$ untuk menghilangkan pecahan: $-b = 3a \quad \text{atau} \quad b = -3a$

Langkah 2: Menggunakan Titik Balik untuk Mendapatkan Persamaan

Substitusikan $x = \frac{3}{2}$ dan $y = -\frac{10}{9}$ ke dalam persamaan parabola: $-\frac{10}{9} = a\left(\frac{3}{2}\right)^2 + b\left(\frac{3}{2}\right) + c$ Substitusikan $b = -3a$ ke dalam persamaan: $-\frac{10}{9} = a\left(\frac{9}{4}\right) - 3a\left(\frac{3}{2}\right) + c$ Sederhanakan persamaan tersebut: $-\frac{10}{9} = \frac{9a}{4} - \frac{9a}{2} + c$ Untuk menyederhanakan lebih lanjut, ubah $\frac{9a}{2}$ menjadi $\frac{18a}{4}$, sehingga: $-\frac{10}{9} = \frac{9a - 18a}{4} + c$ $-\frac{10}{9} = \frac{-9a}{4} + c$

Langkah 3: Mencari Nilai $c$

Kita dapat menyatakan $c$ sebagai: $c = \frac{9a}{4} - \frac{10}{9}$

Langkah 4: Menyederhanakan Nilai Minimum $a$

Persamaan $a + b + c$ harus menjadi bilangan bulat. Dari $b = -3a$ dan $c = \frac{9a}{4} - \frac{10}{9}$, kita substitusi: $a - 3a + \left(\frac{9a}{4} - \frac{10}{9}\right) \quad \text{harus bilangan bulat}$ $-2a + \frac{9a}{4} - \frac{10}{9} \quad \text{harus bilangan bulat}$ Kalikan dengan 36 (KPK dari 4 dan 9) untuk menghilangkan pecahan: $-72a + 81a - 40 = \text{bilangan bulat}$ $9a - 40 = \text{bilangan bulat}$ $9a = 40 + \text{bilangan bulat}$ Karena $9a$ harus kelipatan dari 9, maka $40$ harus dikalikan dengan bilangan bulat. Maka nilai minimum $a$ adalah $a = \frac{40}{9}$.

Langkah 5: Menyatakan dalam Bentuk $p/q$

Nilai minimum dari $a$ adalah $a = \frac{40}{9}$, yang dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}{q}$, dengan $p = 40$ dan $q = 9$. Kedua bilangan ini adalah relatif prima, jadi $p + q = 40 + 9 = \boxed{49}$.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

5 Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan koordinat titik balik parabola secara umum?
2. Mengapa penting memastikan $a + b + c$ adalah bilangan bulat dalam soal ini?
3. Apa yang dimaksud dengan bilangan relatif prima dalam konteks soal ini?
4. Bagaimana cara menentukan nilai minimum dari sebuah fungsi kuadrat?
5. Apa aplikasi dari konsep titik balik parabola dalam kehidupan sehari-hari?

Tip: Dalam menyelesaikan soal yang melibatkan pecahan, selalu periksa apakah Anda dapat mengalikan seluruh persamaan dengan KPK untuk menyederhanakan perhitungan.