Untuk menentukan nilai barang $x$ dan $y$ yang memberikan kepuasan konsumen maksimum, kita perlu menyelesaikan masalah optimasi ini dengan menggunakan metode substitusi atau Lagrange Multiplier. Kita akan mencari titik di mana garis anggaran bersinggungan dengan kurva indiferens, yaitu ketika turunan parsial dari kedua fungsi ini memberikan kondisi optima.

Metode Lagrange Multiplier

Fungsi utilitas $U(x, y) = 3x^2 - 2xy + 2y^2$.

Persamaan garis anggaran $2x + y = 6$.

Langkah-langkahnya adalah:

1. Tentukan Fungsi Lagrangian:

   $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = 3x^2 - 2xy + 2y^2 + \lambda (6 - 2x - y)$

2. Hitung Turunan Parsial dan Setarakan dengan Nol:

   $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 6x - 2y - 2\lambda = 0$

   $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = -2x + 4y - \lambda = 0$

   $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 6 - 2x - y = 0$

3. Penyelesaian Sistem Persamaan:

   Dari $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$: $6x - 2y = 2\lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = 3x - y$

   Dari $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0$: $-2x + 4y = \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2x + 4y$

   Menyamakan kedua ekspresi $\lambda$: $3x - y = -2x + 4y$

   $5x = 5y \quad \Rightarrow \quad x = y$

   Substitusikan $x = y$ ke dalam persamaan garis anggaran: $2x + x = 6 \quad \Rightarrow \quad 3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2$

   Karena $x = y$, maka $y = 2$.

Jadi, barang $x$ dan $y$ yang memberikan kepuasan maksimum pada konsumen adalah $x = 2$ dan $y = 2$.