2.	Sebuah pulau berada 1 km di utara dari suatu titik di pantai. Seorang pengunjung berada di kabin di pantai yang berada 2 km sebelah barat titik tersebut. Pengunjung tersebut ingin pergi ke pulau tersebut. Misalkan ia dapat berlari dengan laju 20 km/jam dan berenang dengan laju 10 km/jam. Berapa jauh ia harus berlari sebelum berenang untuk meminimumkan waktu mencapai pulau tersebut?

Masalah ini melibatkan penggunaan kalkulus untuk meminimalkan waktu perjalanan dari kabin di pantai ke sebuah pulau. Kita perlu menentukan berapa jauh pengunjung harus berlari di pantai sebelum mulai berenang ke pulau tersebut, agar waktu total yang dihabiskan untuk mencapai pulau menjadi minimum.

### Diberikan:
- Pulau berada 1 km di utara dari suatu titik di pantai.
- Kabin berada 2 km di sebelah barat titik tersebut di pantai.
- Laju berlari adalah 20 km/jam.
- Laju berenang adalah 10 km/jam.

Mari kita definisikan beberapa variabel untuk membantu menyelesaikan masalah ini.

1. Misalkan \( x \) adalah jarak yang ditempuh pengunjung berlari di pantai ke arah timur sebelum ia mulai berenang.
2. Jarak yang tersisa untuk berenang adalah jarak diagonal dari posisi terakhir di pantai ke pulau. Jika pengunjung berlari sejauh \( x \) km ke timur, maka jarak horizontal dari titik tersebut ke pulau adalah \( 2 - x \) km, dan jarak vertikal tetap 1 km (karena pulau berada 1 km di utara pantai).

### Langkah-langkah:

1. **Jarak yang ditempuh berlari di pantai**: Jarak ini adalah \( x \) km, dan waktu yang dihabiskan untuk berlari adalah
   \[
   t_{\text{lari}} = \frac{x}{20}.
   \]

2. **Jarak yang ditempuh berenang ke pulau**: Jarak diagonal ini bisa dihitung menggunakan Teorema Pythagoras. Jarak horizontal dari posisi terakhir di pantai ke pulau adalah \( 2 - x \) km, dan jarak vertikal adalah 1 km. Jadi, jarak berenang adalah
   \[
   \text{jarak berenang} = \sqrt{(2 - x)^2 + 1^2} = \sqrt{(2 - x)^2 + 1}.
   \]
   Waktu yang dihabiskan untuk berenang adalah
   \[
   t_{\text{renang}} = \frac{\sqrt{(2 - x)^2 + 1}}{10}.
   \]

3. **Total waktu perjalanan**: Total waktu yang dihabiskan adalah penjumlahan dari waktu berlari dan waktu berenang,
   \[
   t_{\text{total}}(x) = \frac{x}{20} + \frac{\sqrt{(2 - x)^2 + 1}}{10}.
   \]
   
4. **Minimasi waktu total**: Untuk meminimalkan waktu total, kita perlu mencari turunan dari \( t_{\text{total}}(x) \) terhadap \( x \), kemudian mencari nilai \( x \) yang membuat turunan tersebut sama dengan nol.

Mari kita hitung turunan dan menemukan nilai optimal \( x \).Nilai \( x \) yang meminimalkan waktu perjalanan ditemukan sebagai \( x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \), yang kira-kira bernilai 1,422 km.

Artinya, pengunjung harus berlari sejauh kira-kira 1,422 km ke arah timur di pantai sebelum mulai berenang untuk meminimalkan waktu mencapai pulau.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai prosesnya atau ada hal lain yang ingin ditanyakan?

### 5 Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana jika kecepatan berenang dan berlari berbeda lagi?
2. Bagaimana cara mencari solusi ini tanpa kalkulus?
3. Bagaimana perubahan jalur optimal jika jarak ke utara pulau berubah?
4. Bagaimana jika ada hambatan lain di sepanjang perjalanan?
5. Bagaimana solusi berubah jika kecepatan di air lebih tinggi dari kecepatan di darat?

**Tip**: Meminimalkan waktu perjalanan sering kali membutuhkan pemahaman tentang kecepatan relatif dan geometri jalur terpendek.

Sebuah pulau berada 1 km di utara dari suatu titik di pantai. Seorang pengunjung berada di kabin di pantai yang berada 2 km sebelah barat titik tersebut. Pengunjung tersebut ingin pergi ke pulau tersebut. Misalkan ia dapat berlari dengan laju 20 km/jam dan berenang dengan laju 10 km/jam. Berapa jauh ia harus berlari sebelum berenang untuk meminimumkan waktu mencapai pulau tersebut?

This problem focuses on optimizing the travel time from a cabin on the beach to an island 1 km north of a point on the shore. Using calculus and the Pythagorean theorem, find the ideal distance to run before swimming to minimize the total time. Given running speed is 20 km/h and swimming speed is 10 km/h.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation