Sebuah pulau berada 1 km di utara dari suatu titik di pantai. Seorang pengunjung berada di kabin di pantai yang berada 2 km sebelah barat titik tersebut. Pengunjung tersebut ingin pergi ke pulau tersebut. Misalkan ia dapat berlari dengan laju 20 km/jam dan berenang dengan laju 10 km/jam. Berapa jauh ia harus berlari sebelum berenang untuk meminimumkan waktu mencapai pulau tersebut?

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu meminimumkan waktu perjalanan pengunjung dengan mempertimbangkan jarak berlari dan berenang. Berikut adalah langkah-langkah yang digunakan untuk menentukan berapa jauh pengunjung harus berlari sebelum berenang untuk meminimumkan waktu total.

### 1. Menyusun Persamaan

Kita dapat membuat sistem koordinat kartesian, dengan titik \( P \) di pantai sebagai pusat koordinat \( (0, 0) \).

- Titik \( C \) adalah kabin di pantai dengan koordinat \( (-2, 0) \).
- Titik \( O \) adalah titik di pantai tepat di bawah pulau dengan koordinat \( (0, 1) \).
- Pengunjung akan berlari sejauh \( x \) km ke arah timur, menuju titik \( A(x, 0) \) di pantai, kemudian berenang ke pulau di \( O(0, 1) \).

### 2. Waktu Berlari dan Berenang

- Jarak yang ditempuh pengunjung saat berlari adalah dari titik \( C(-2, 0) \) ke titik \( A(x, 0) \), yang memiliki panjang \( |x + 2| \). Karena \( x \geq -2 \), jarak ini menjadi \( x + 2 \).
- Waktu berlari dengan kecepatan 20 km/jam adalah:
  \[
  T_{\text{lari}} = \frac{x + 2}{20}
  \]

- Jarak berenang adalah dari titik \( A(x, 0) \) ke titik \( O(0, 1) \), yang merupakan hipotenusa dari segitiga siku-siku dengan panjang sisi horizontal \( x \) dan sisi vertikal 1. Maka jaraknya adalah:
  \[
  d_{\text{berenang}} = \sqrt{x^2 + 1}
  \]
  Waktu berenang dengan kecepatan 10 km/jam adalah:
  \[
  T_{\text{berenang}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{10}
  \]

### 3. Fungsi Waktu Total

Waktu total perjalanan adalah penjumlahan waktu lari dan waktu berenang:
\[
T(x) = \frac{x + 2}{20} + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{10}
\]

### 4. Meminimumkan Fungsi Waktu

Sekarang kita meminimalkan fungsi \( T(x) \). Untuk itu, kita harus menghitung turunan pertama \( T'(x) \) dan mencari nilai \( x \) yang membuat turunan ini sama dengan nol.

Turunan dari \( T(x) \) adalah:
\[
T'(x) = \frac{1}{20} + \frac{x}{10\sqrt{x^2 + 1}}
\]

Mencari titik kritis dengan menyamakan turunan pertama ini dengan nol:
\[
\frac{1}{20} + \frac{x}{10\sqrt{x^2 + 1}} = 0
\]
\[
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{1}{2}
\]

Selanjutnya, kita kuadratkan kedua sisi:
\[
\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{1}{4}
\]
\[
4x^2 = x^2 + 1
\]
\[
3x^2 = 1
\]
\[
x^2 = \frac{1}{3}
\]
\[
x = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577
\]

Jadi, jarak optimal yang harus ditempuh pengunjung sebelum mulai berenang adalah sekitar \( 0.577 \) km ke arah timur dari kabin.

### 5. Kesimpulan

Pengunjung harus berlari sejauh sekitar **0.577 km** ke arah timur sebelum mulai berenang untuk meminimumkan waktu perjalanan menuju pulau.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan terkait perhitungan ini?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait yang bisa membantu:
1. Bagaimana cara menemukan turunan kedua untuk memverifikasi apakah hasil ini benar-benar titik minimum?
2. Bagaimana jika kecepatan berenang lebih cepat, bagaimana hal itu mempengaruhi hasilnya?
3. Bagaimana cara menghitung waktu total setelah menemukan jarak berlari yang optimal?
4. Bagaimana cara menyusun diagram yang menunjukkan situasi ini secara grafis?
5. Bagaimana jika kecepatan berlari dan berenang diubah?

**Tip:** Saat menyelesaikan masalah optimasi, penting untuk selalu memeriksa titik kritis dengan menggunakan turunan kedua untuk memastikan apakah itu minimum atau maksimum.

Solve an optimization problem where a visitor runs along the beach and swims to an island. Learn how to minimize travel time by finding the optimal running distance using calculus and the Pythagorean Theorem. Suitable for high school students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation