Sebuah pulau berada 1 km di utara dari suatu titik di pantai. Seorang pengunjung berada di kabin di pantai yang berada 2 km sebelah barat titik tersebut. Pengunjung tersebut ingin pergi ke pulau tersebut. Misalkan ia dapat berlari dengan laju 20 km/jam dan berenang dengan laju 10 km/jam. Berapa jauh ia harus berlari sebelum berenang untuk meminimumkan waktu mencapai pulau tersebut?

Masalah ini dapat diselesaikan menggunakan kalkulus untuk meminimalkan waktu tempuh. Mari kita uraikan langkah-langkahnya:

### 1. Sketsa dan Pengaturan Koordinat
- Asumsikan titik pantai yang berada tepat di selatan pulau tersebut sebagai titik \( O \) (koordinat \( (0, 0) \)).
- Lokasi pulau berada di titik \( P(0, 1) \), yaitu 1 km ke utara dari titik pantai \( O \).
- Kabin tempat pengunjung berada di titik \( K(-2, 0) \), yaitu 2 km ke barat dari titik \( O \).

Pengunjung harus menentukan titik di pantai tempat dia berhenti berlari dan mulai berenang, katakanlah titik ini berada di \( (x, 0) \) di sepanjang garis pantai.

### 2. Jarak Lari dan Berenang
- **Jarak berlari** dari \( K(-2, 0) \) ke titik \( (x, 0) \) di pantai adalah \( |x - (-2)| = |x + 2| \).
- **Jarak berenang** dari titik \( (x, 0) \) di pantai ke pulau \( P(0, 1) \) adalah panjang garis miring antara kedua titik tersebut. Jarak ini bisa dihitung dengan Teorema Pythagoras:
  \[
  \text{Jarak berenang} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}.
  \]

### 3. Waktu Tempuh
Waktu tempuh total adalah gabungan waktu berlari dan waktu berenang.

- **Waktu berlari** (kecepatan berlari = 20 km/jam):
  \[
  t_{\text{lari}} = \frac{|x + 2|}{20}.
  \]
- **Waktu berenang** (kecepatan berenang = 10 km/jam):
  \[
  t_{\text{berenang}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{10}.
  \]

Jadi, total waktu tempuh \( T(x) \) adalah:
\[
T(x) = \frac{|x + 2|}{20} + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{10}.
\]

### 4. Fungsi yang Dioptimalkan
Karena \( x + 2 \) selalu positif (kita sedang membahas jalur pantai yang lebih ke timur), kita dapat menghilangkan tanda mutlak dan menyederhanakan fungsi waktu menjadi:
\[
T(x) = \frac{x + 2}{20} + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{10}.
\]

### 5. Turunan Fungsi Waktu
Sekarang kita ambil turunan pertama dari \( T(x) \) untuk mencari titik minimum:
\[
T'(x) = \frac{1}{20} + \frac{x}{10\sqrt{x^2 + 1}}.
\]
Setelah itu, kita set \( T'(x) = 0 \) untuk mencari nilai \( x \) yang meminimalkan waktu.

\[
\frac{1}{20} + \frac{x}{10\sqrt{x^2 + 1}} = 0.
\]
Selesaikan persamaan ini untuk \( x \):
\[
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{1}{2}.
\]
Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar:
\[
\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{1}{4}.
\]
Kalikan kedua sisi dengan \( x^2 + 1 \):
\[
x^2 = \frac{1}{4}(x^2 + 1).
\]
\[
4x^2 = x^2 + 1.
\]
\[
3x^2 = 1.
\]
\[
x^2 = \frac{1}{3}.
\]
\[
x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577.
\]

### 6. Interpretasi
Nilai \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) berarti titik di pantai tempat pengunjung harus berhenti berlari dan mulai berenang adalah sekitar 0.577 km di sebelah timur dari titik \( K(-2, 0) \), atau lebih spesifiknya, jaraknya adalah \( 2 - 0.577 = 1.423 \) km dari kabin di sepanjang pantai.

### Jawaban Akhir
Pengunjung harus berlari sejauh sekitar **1.423 km** sebelum mulai berenang untuk meminimalkan waktu tempuhnya ke pulau tersebut.

Apakah Anda ingin melihat perhitungan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

#### 5 Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara mengonfirmasi apakah nilai \( x \) ini benar-benar meminimalkan waktu?
2. Bagaimana jika kecepatan berenang dan berlari diubah? Bagaimana itu mempengaruhi hasil?
3. Dapatkah masalah ini diselesaikan secara geometris, tanpa kalkulus?
4. Apakah ada batas atas untuk jarak optimal berlari sebelum mulai berenang?
5. Bagaimana jika pulau tersebut berada lebih dari 1 km ke utara?

#### Tip:
Selalu periksa signifikansi fisik dari hasil perhitungan dalam soal optimasi, agar hasilnya masuk akal dalam konteks masalah asli.

Discover how to minimize travel time to an island located 1 km north of a beach point, using calculus and optimization techniques. This problem involves running and swimming at different speeds, applying Pythagoras' theorem and derivative-based optimization. Perfect for Grades 11-12 or early university students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation