Martin driver en fabrikk som produserer fire forskjellige produkter: A, B, C og D. Hver av disse produktene krever forskjellige mengder råmaterialer, arbeidstimer og maskintimer. Fabrikken har en begrenset mengde av hver ressurs tilgjengelig hver måned. Her er detaljene:

**Ressurser tilgjengelig per måned:**

Råmaterialer: 500 kg

Arbeidstimer: 400 timer

Maskintimer: 200 timer

**Produktdetaljer (per enhet):**

**Produkt**

**Råmaterialer (kg)**

**Arbeidstimer**

**Maskintimer**

**Salgspris (kr)**

A

3

2

1

500

B

4

1

3

600

C

2

3

2

700

Martin ønsker å maksimere inntektene sine.

Anta han går for følgende plan:

Kun produsere produkt A

Benytte all råmateriale

Selv om planen er vel og god, viser det seg at det finnes en bedre plan:

Ingen produksjon av produkt B

All råmateriale benyttes

Alle maskintimene benyttes

I dette tilfellet var altså gevinsten høyere enn for det valget Martin tok. Hva er alternativkostnaden for valget Martin tok? Vi regner ikke med hele enheter og  vi godtar en feilmargin på +/- 10 kroner. 

Tips: Bruk gjerne programvare der det er hensiktsmessig og definer variabler for hvor mye som produseres for hvert produkt A, B og C henholdsvis.

For å finne alternativkostnaden for valget Martin tok, må vi først beregne inntektene for to scenarioer: det Martin valgte, og det bedre alternativet. Deretter sammenligner vi disse to for å finne alternativkostnaden.

### 1. Beregning av inntekter for Martins plan (kun produkt A)
Martin planlegger å produsere kun produkt A og bruke all tilgjengelig råmateriale.

- **Råmateriale per enhet av A**: 3 kg
- **Tilgjengelig råmateriale**: 500 kg

Antall enheter av A som kan produseres:
\[
\text{Antall enheter A} = \frac{500 \text{ kg}}{3 \text{ kg/enhet}} \approx 166,67 \text{ enheter}
\]

Inntekten per enhet av A er 500 kr, så total inntekt blir:
\[
\text{Inntekt fra A} = 166,67 \times 500 \approx 83\,333,33 \text{ kr}
\]

### 2. Beregning av inntekter for det bedre alternativet
Det alternative forslaget sier at vi skal produsere produkter A og C, men ikke B. Vi antar at alle ressurser (råmaterialer og maskintimer) blir brukt opp.

La oss definere:

- \( x \) = Antall enheter av A
- \( y \) = Antall enheter av C

Vi har følgende begrensninger:

- **Råmaterialer**: \( 3x + 2y = 500 \)
- **Maskintimer**: \( x + 2y = 200 \)

### Løsning av likningssystemet

Fra maskintimene kan vi isolere \( x \):
\[
x = 200 - 2y
\]

Sett dette inn i råmaterialelikningen:
\[
3(200 - 2y) + 2y = 500
\]
\[
600 - 6y + 2y = 500
\]
\[
-4y = -100 \quad \Rightarrow \quad y = 25
\]

Sett \( y = 25 \) inn i \( x = 200 - 2y \):
\[
x = 200 - 2(25) = 150
\]

Så vi kan produsere 150 enheter av A og 25 enheter av C.

Total inntekt blir:
\[
\text{Inntekt fra A og C} = 150 \times 500 + 25 \times 700 = 75\,000 + 17\,500 = 92\,500 \text{ kr}
\]

### 3. Alternativkostnaden

Alternativkostnaden for Martins valg er forskjellen mellom inntekten fra det bedre alternativet og inntekten fra Martins valg:
\[
\text{Alternativkostnad} = 92\,500 - 83\,333,33 = 9\,166,67 \text{ kr}
\]

**Svar**: Alternativkostnaden for valget Martin tok er cirka 9 167 kr.

Ønsker du flere detaljer eller har du spørsmål? 

Her er noen relaterte spørsmål:
1. Hvordan ville alternativkostnaden endret seg hvis prisen på produkt B økte?
2. Hva ville vært inntekten dersom fabrikken kunne kjøpe mer råmaterialer?
3. Hvordan påvirker arbeidskraften mulighetentil å produsere flere enheter av A og C?
4. Hva skjer med alternativkostnaden hvis fabrikken får tilgang til flere maskintimer?
5. Hvordan ville løsningen endret seg hvis Martin kunne produsere og selge produkt D også?

**Tips:** Når du optimaliserer ressursbruk, kan det være nyttig å bruke lineær programmering for å finne den beste produksjonsmiksen som maksimerer inntektene eller reduserer kostnadene.

Explore how to maximize income through optimal resource allocation in manufacturing. This case study examines Martin's production choices and calculates alternative costs. Suitable for advanced high school students studying linear programming and resource optimization.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation