Найди наибольшее и наименьшее значение функции z=x+2y+1 , в треугольнике x = 0, y = 0, x - y = 1

Рассмотрим функцию \( z = x + 2y + 1 \) на заданном треугольнике, который ограничен следующими линиями:

1. \( x = 0 \) (ось \(y\)),
2. \( y = 0 \) (ось \(x\)),
3. \( x - y = 1 \).

Теперь найдем точки пересечения этих прямых:

- Пересечение \( x = 0 \) и \( y = 0 \): точка \( (0, 0) \).
- Пересечение \( x = 0 \) и \( x - y = 1 \): подставляем \( x = 0 \) в уравнение \( x - y = 1 \), получаем \( y = -1 \). Но эта точка не лежит в первой четверти, значит не подходит.
- Пересечение \( y = 0 \) и \( x - y = 1 \): подставляем \( y = 0 \) в уравнение \( x - y = 1 \), получаем \( x = 1 \). Точка \( (1, 0) \).
- Пересечение \( x - y = 1 \) и \( y = 0 \): подставляем \( y = 0 \), получаем \( x = 1 \). Точка \( (1, 0) \).

Таким образом, у нас есть три ключевые точки треугольника: \( (0, 0) \), \( (1, 0) \) и \( (1, 1) \).

Теперь вычислим значение функции \( z \) в каждой из этих точек:

1. В точке \( (0, 0) \): \( z = 0 + 2(0) + 1 = 1 \).
2. В точке \( (1, 0) \): \( z = 1 + 2(0) + 1 = 2 \).
3. В точке \( (1, 1) \): \( z = 1 + 2(1) + 1 = 4 \).

Таким образом, наименьшее значение функции \( z = 1 \), а наибольшее \( z = 4 \).

Хотите получить дополнительные подробности или задать вопросы? 

Вот 5 дополнительных вопросов по теме:

1. Как можно найти экстремумы функции на границе произвольной области?
2. Как изменилось бы решение, если бы область определения функции была другой?
3. Какие другие методы существуют для нахождения максимума и минимума функции на заданной области?
4. Какую роль играют градиенты функции при поиске экстремумов?
5. Как бы изменились результаты, если бы мы искали экстремумы на всей плоскости, а не на ограниченной области?

**Совет:** при работе с неравенствами важно точно определить границы области, чтобы правильно найти все точки пересечения.

Explore how to find the maximum and minimum values of the function z = x + 2y + 1 within a triangular region defined by x = 0, y = 0, and x - y = 1. Detailed step-by-step solution included.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation