Bestem minimum og maksimum for kriteriefunktionen

f(x,y)=3x+y

med begrænsningerne

\begin{aligned}x+2y&amp;\leq 12\\ 2x+y&amp;\geq 12\\ x+4y&amp;\geq 2\end{aligned}

Vi har kriteriefunktionen \( f(x, y) = 3x + y \), og vi ønsker at finde minimum og maksimum under de givne begrænsninger:

\[
\begin{aligned}
1. & \quad x + 2y \leq 12 \\
2. & \quad 2x + y \geq 12 \\
3. & \quad x + 4y \geq 2
\end{aligned}
\]

Fremgangsmåden er at finde skæringspunkterne for de linjer, som definerer begrænsningerne, for at finde det mulige løsningområde, og derefter evaluere kriteriefunktionen \( f(x, y) \) i hjørnepunkterne af det område.

### Trin 1: Omskriv begrænsningerne til linjer
Vi omskriver hver begrænsning til en lighed for at finde skæringspunkter:
1. \( x + 2y = 12 \)
2. \( 2x + y = 12 \)
3. \( x + 4y = 2 \)

### Trin 2: Find skæringspunkterne
Vi finder skæringspunkterne ved at løse systemer af to ligninger ad gangen.

#### Skæringspunkt 1: \( x + 2y = 12 \) og \( 2x + y = 12 \)
Multiplicer den anden ligning med 2:
\[
4x + 2y = 24
\]
Træk nu \( x + 2y = 12 \) fra:
\[
(4x + 2y) - (x + 2y) = 24 - 12 \\
3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4
\]
Indsæt \( x = 4 \) i \( x + 2y = 12 \):
\[
4 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 2y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 4
\]
Skæringspunktet er \( (4, 4) \).

#### Skæringspunkt 2: \( x + 2y = 12 \) og \( x + 4y = 2 \)
Træk \( x + 4y = 2 \) fra \( x + 2y = 12 \):
\[
(x + 2y) - (x + 4y) = 12 - 2 \\
-2y = 10 \quad \Rightarrow \quad y = -5
\]
Indsæt \( y = -5 \) i \( x + 4y = 2 \):
\[
x + 4(-5) = 2 \quad \Rightarrow \quad x - 20 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 22
\]
Skæringspunktet er \( (22, -5) \).

#### Skæringspunkt 3: \( 2x + y = 12 \) og \( x + 4y = 2 \)
Multiplicer den anden ligning med 2:
\[
2x + 8y = 4
\]
Træk ligningerne fra hinanden:
\[
(2x + y) - (2x + 8y) = 12 - 4 \\
-7y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{8}{7}
\]
Indsæt \( y = -\frac{8}{7} \) i \( 2x + y = 12 \):
\[
2x - \frac{8}{7} = 12 \quad \Rightarrow \quad 2x = 12 + \frac{8}{7} = \frac{84}{7} + \frac{8}{7} = \frac{92}{7} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{46}{7}
\]
Skæringspunktet er \( \left( \frac{46}{7}, -\frac{8}{7} \right) \).

### Trin 3: Evaluering af kriteriefunktionen
Nu evaluerer vi kriteriefunktionen \( f(x, y) = 3x + y \) i de fundne skæringspunkter:

1. \( f(4, 4) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 \)
2. \( f(22, -5) = 3(22) + (-5) = 66 - 5 = 61 \)
3. \( f\left( \frac{46}{7}, -\frac{8}{7} \right) = 3\left( \frac{46}{7} \right) + \left( -\frac{8}{7} \right) = \frac{138}{7} - \frac{8}{7} = \frac{130}{7} \approx 18.57 \)

### Trin 4: Konklusion
Minimum og maksimum værdierne for \( f(x, y) = 3x + y \) i området defineret af begrænsningerne er:

- Minimum: \( f(4, 4) = 16 \)
- Maksimum: \( f(22, -5) = 61 \)

Vil du have flere detaljer om et af trinene eller har du spørgsmål?

**Relaterede spørgsmål:**
1. Hvordan finder man skæringspunkter for to linjer generelt?
2. Hvad er geometrien bag begrænsningerne i denne type problemer?
3. Kan man anvende en grafisk metode til at finde minimum og maksimum?
4. Hvordan kan lineær programmering anvendes i sådanne problemer?
5. Hvilken rolle spiller kriteriefunktionen i optimeringsproblemer?

**Tip:** Skæringspunkter i optimeringsproblemer findes ofte nemmest ved substitution eller eliminationsmetoden.

Bestem minimum og maksimum for kriteriefunktionen f(x,y)=3x+y med begrænsningerne \begin{aligned}x+2y\leq 12\ 2x+y\geq 12\ x+4y\geq 2\end{aligned}

Solve the optimization problem to find the minimum and maximum values of the function f(x, y) = 3x + y, subject to three linear constraints. This solution involves solving systems of inequalities and evaluating the function at the vertices. Ideal for Grades 10-12 students learning linear programming.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation