Math Problem Statement
Bestem minimum og maksimum for kriteriefunktionen
f(x,y)=3x+y
med begrænsningerne
\begin{aligned}x+2y&\leq 12\ 2x+y&\geq 12\ x+4y&\geq 2\end{aligned}
Solution
Vi har kriteriefunktionen , og vi ønsker at finde minimum og maksimum under de givne begrænsninger:
1. & \quad x + 2y \leq 12 \\ 2. & \quad 2x + y \geq 12 \\ 3. & \quad x + 4y \geq 2 \end{aligned}$$ Fremgangsmåden er at finde skæringspunkterne for de linjer, som definerer begrænsningerne, for at finde det mulige løsningområde, og derefter evaluere kriteriefunktionen $$f(x, y)$$ i hjørnepunkterne af det område. ### Trin 1: Omskriv begrænsningerne til linjer Vi omskriver hver begrænsning til en lighed for at finde skæringspunkter: 1. $$x + 2y = 12$$ 2. $$2x + y = 12$$ 3. $$x + 4y = 2$$ ### Trin 2: Find skæringspunkterne Vi finder skæringspunkterne ved at løse systemer af to ligninger ad gangen. #### Skæringspunkt 1: $$x + 2y = 12$$ og $$2x + y = 12$$ Multiplicer den anden ligning med 2: $$4x + 2y = 24$$ Træk nu $$x + 2y = 12$$ fra: $$(4x + 2y) - (x + 2y) = 24 - 12 \\ 3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$ Indsæt $$x = 4$$ i $$x + 2y = 12$$: $$4 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 2y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 4$$ Skæringspunktet er $$(4, 4)$$. #### Skæringspunkt 2: $$x + 2y = 12$$ og $$x + 4y = 2$$ Træk $$x + 4y = 2$$ fra $$x + 2y = 12$$: $$(x + 2y) - (x + 4y) = 12 - 2 \\ -2y = 10 \quad \Rightarrow \quad y = -5$$ Indsæt $$y = -5$$ i $$x + 4y = 2$$: $$x + 4(-5) = 2 \quad \Rightarrow \quad x - 20 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 22$$ Skæringspunktet er $$(22, -5)$$. #### Skæringspunkt 3: $$2x + y = 12$$ og $$x + 4y = 2$$ Multiplicer den anden ligning med 2: $$2x + 8y = 4$$ Træk ligningerne fra hinanden: $$(2x + y) - (2x + 8y) = 12 - 4 \\ -7y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{8}{7}$$ Indsæt $$y = -\frac{8}{7}$$ i $$2x + y = 12$$: $$2x - \frac{8}{7} = 12 \quad \Rightarrow \quad 2x = 12 + \frac{8}{7} = \frac{84}{7} + \frac{8}{7} = \frac{92}{7} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{46}{7}$$ Skæringspunktet er $$\left( \frac{46}{7}, -\frac{8}{7} \right)$$. ### Trin 3: Evaluering af kriteriefunktionen Nu evaluerer vi kriteriefunktionen $$f(x, y) = 3x + y$$ i de fundne skæringspunkter: 1. $$f(4, 4) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16$$ 2. $$f(22, -5) = 3(22) + (-5) = 66 - 5 = 61$$ 3. $$f\left( \frac{46}{7}, -\frac{8}{7} \right) = 3\left( \frac{46}{7} \right) + \left( -\frac{8}{7} \right) = \frac{138}{7} - \frac{8}{7} = \frac{130}{7} \approx 18.57$$ ### Trin 4: Konklusion Minimum og maksimum værdierne for $$f(x, y) = 3x + y$$ i området defineret af begrænsningerne er: - Minimum: $$f(4, 4) = 16$$ - Maksimum: $$f(22, -5) = 61$$ Vil du have flere detaljer om et af trinene eller har du spørgsmål? **Relaterede spørgsmål:** 1. Hvordan finder man skæringspunkter for to linjer generelt? 2. Hvad er geometrien bag begrænsningerne i denne type problemer? 3. Kan man anvende en grafisk metode til at finde minimum og maksimum? 4. Hvordan kan lineær programmering anvendes i sådanne problemer? 5. Hvilken rolle spiller kriteriefunktionen i optimeringsproblemer? **Tip:** Skæringspunkter i optimeringsproblemer findes ofte nemmest ved substitution eller eliminationsmetoden.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Programming
Systems of Linear Inequalities
Optimization
Formulas
f(x, y) = 3x + y
x + 2y = 12
2x + y = 12
x + 4y = 2
Theorems
Method of Corners (Vertex Method)
Linear Inequality System Solutions
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Maximum Value of f(x, y) = 3x + 2y in a Feasible Region
Maximizing Objective Function in Linear Programming: f(x, y) = 3x + 2y
Maximize and Minimize z = 3x + 4y with Constraints 2x + y ≥ 10, x + 2y ≥ 8
Optimization of Linear Function Under Constraints
Solving System of Inequalities and Finding Optimal Values of M = 3x + 8y