[0.8] Dados los vectores 𝑢⃗ = 5𝑖̂ − 𝑗̂ + 3𝑘 ̂
, 𝑣 = −𝑖̂ − 5 𝑘 ̂
y 𝑤⃗⃗ = 𝑖̂ − 3𝑗̂ +
4𝑘 ̂
de ℝ3, introduzca un paréntesis conveniente y resuelva las operaciones dadas
a continuación:
a. 𝑣 /𝑤⃗⃗ ∙ 𝑢⃗
b. 𝑢⃗ ∙ 𝑣 + 𝑤⃗⃗
c. 𝑣 𝑢⃗ ∙ 𝑤⃗⃗
d. 𝑣 ∙ 𝑤⃗⃗ × 𝑢

Para resolver las operaciones dadas con los vectores en \(\mathbb{R}^3\), vamos a seguir los pasos apropiados para cada una. Primero, recordemos que los vectores dados son:

\[
\mathbf{u} = 5\mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{v} = -\mathbf{i} - 5\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{w} = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}
\]

### a. \(\mathbf{v} / \mathbf{w} \cdot \mathbf{u}\)

Este caso no tiene sentido en el álgebra vectorial, ya que no se puede dividir un vector entre otro y luego hacer el producto punto. Podría ser un error de notación. Posiblemente se referían a:

\[
(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \cdot \mathbf{u}
\]

Pero el producto punto entre dos vectores es un escalar, y no tiene sentido realizar un segundo producto punto con un escalar. 

Si la intención era un producto escalar y luego multiplicar ese resultado escalar con otro vector, se puede resolver como:

\[
\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = (-1)(1) + (0)(-3) + (-5)(4) = -1 - 20 = -21
\]

Por lo tanto, el escalar sería \(-21\).

### b. \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w}\)

Primero calculamos el producto punto \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\):

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (5)(-1) + (-1)(0) + (3)(-5) = -5 - 15 = -20
\]

Luego, sumamos este escalar a cada componente de \(\mathbf{w}\):

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} = -20 + (\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) = (-20 + 1)\mathbf{i} + (-20 - 3)\mathbf{j} + (-20 + 4)\mathbf{k} = -19\mathbf{i} - 23\mathbf{j} - 16\mathbf{k}
\]

### c. \(\mathbf{v} \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}\)

Aquí parece haber un error de notación. Posiblemente la intención era:

\[
(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) \cdot \mathbf{w}
\]

El producto punto de \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}\) es:

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = (5)(1) + (-1)(-3) + (3)(4) = 5 + 3 + 12 = 20
\]

Este escalar (\(20\)) sería multiplicado por \(\mathbf{v}\):

\[
20 \cdot \mathbf{v} = 20(-\mathbf{i} - 5\mathbf{k}) = -20\mathbf{i} - 100\mathbf{k}
\]

### d. \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} \times \mathbf{u}\)

Primero calculamos el producto cruz de \(\mathbf{w} \times \mathbf{u}\):

\[
\mathbf{w} \times \mathbf{u} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -3 & 4 \\
5 & -1 & 3 \\
\end{vmatrix}
\]

El determinante se calcula como:

\[
\mathbf{w} \times \mathbf{u} = \mathbf{i}((-3)(3) - (4)(-1)) - \mathbf{j}((1)(3) - (4)(5)) + \mathbf{k}((1)(-1) - (-3)(5))
\]

\[
= \mathbf{i}(-9 + 4) - \mathbf{j}(3 - 20) + \mathbf{k}(-1 + 15)
\]

\[
= -5\mathbf{i} + 17\mathbf{j} + 14\mathbf{k}
\]

Finalmente, calculamos el producto punto de \(\mathbf{v}\) con este resultado:

\[
\mathbf{v} \cdot (\mathbf{w} \times \mathbf{u}) = (-1)(-5) + (0)(17) + (-5)(14) = 5 - 70 = -65
\]

### Respuestas finales:

a. No tiene sentido según la notación dada.

b. \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} = -19\mathbf{i} - 23\mathbf{j} - 16\mathbf{k}\)

c. \(-20\mathbf{i} - 100\mathbf{k}\) (interpretando correctamente la notación)

d. \(-65\)

¿Te gustaría más detalles sobre alguna de estas operaciones o tienes alguna pregunta adicional?

---

1. ¿Cómo se interpreta correctamente la notación de operaciones con vectores?
2. ¿Qué es un producto cruzado y cómo se aplica en \(\mathbb{R}^3\)?
3. ¿Cuál es la diferencia entre el producto punto y el producto cruzado?
4. ¿Cómo afecta la dimensión del espacio a las operaciones vectoriales?
5. ¿Cuáles son las propiedades del producto punto?

**Tip:** El producto punto es siempre un escalar, mientras que el producto cruzado es un vector perpendicular a los vectores originales.

Resuelve operaciones con los vectores \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \) en \( \mathbb{R}^3 \). Incluye el producto punto y producto cruzado con ejemplos detallados y soluciones paso a paso.

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