Dados los vectores 𝑢⃗ = 5𝑖̂ − 𝑗̂ + 3𝑘 ̂
, 𝑣 = −𝑖̂ − 5 𝑘 ̂
y 𝑤⃗⃗ = 𝑖̂ − 3𝑗̂ +
4𝑘 ̂
de ℝ3, introduzca un paréntesis conveniente y resuelva las operaciones dadas
a continuación:
a. 𝑣 /𝑤⃗⃗ ∙ 𝑢⃗
b. 𝑢⃗ ∙ 𝑣 + 𝑤⃗⃗
c. 𝑣 𝑢⃗ ∙ 𝑤⃗⃗
d. 𝑣 ∙ 𝑤⃗⃗ × 𝑢

Vamos a resolver cada una de las operaciones dadas con los vectores \( \vec{u} = 5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \), \( \vec{v} = -\hat{i} - 5\hat{k} \), y \( \vec{w} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k} \).

### a. \( \frac{\vec{v}}{\vec{w}} \cdot \vec{u} \)

Primero, notemos que la expresión \( \frac{\vec{v}}{\vec{w}} \) no es una operación válida en el álgebra vectorial tradicional. Dividir un vector por otro no está definido en \( \mathbb{R}^3 \). Es probable que haya un error en la formulación o una notación incorrecta. Si se trata de un producto escalar o producto vectorial, podríamos reformular la pregunta. En cualquier caso, no podemos resolver esto como está.

### b. \( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) \)

Primero sumamos los vectores \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \):

\[
\vec{v} + \vec{w} = (-\hat{i} - 5\hat{k}) + (\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) 
\]
\[
\vec{v} + \vec{w} = (0\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})
\]

Luego calculamos el producto punto con \( \vec{u} \):

\[
\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = (5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (0\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})
\]

\[
\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = (5 \times 0) + (-1 \times -3) + (3 \times -1) 
\]
\[
\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = 0 + 3 - 3 = 0
\]

### c. \( (\vec{v} \cdot \vec{u}) \cdot \vec{w} \)

Primero, calculamos el producto punto \( \vec{v} \cdot \vec{u} \):

\[
\vec{v} \cdot \vec{u} = (-\hat{i} - 5\hat{k}) \cdot (5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})
\]

\[
\vec{v} \cdot \vec{u} = (-1 \times 5) + (0 \times -1) + (-5 \times 3) 
\]
\[
\vec{v} \cdot \vec{u} = -5 - 15 = -20
\]

Luego multiplicamos este resultado por el vector \( \vec{w} \), pero esta operación no es una operación válida entre un escalar y un vector en la forma usual presentada. Si quisieras el producto punto entre \( \vec{w} \) y \( \vec{v} \cdot \vec{u} \), tendrías que definir más claramente la operación.

### d. \( \vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u}) \)

Primero calculamos el producto cruz \( \vec{w} \times \vec{u} \):

\[
\vec{w} \times \vec{u} = 
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & -3 & 4 \\
5 & -1 & 3 
\end{vmatrix}
\]

\[
\vec{w} \times \vec{u} = \hat{i} \left((-3)(3) - (4)(-1)\right) - \hat{j} \left((1)(3) - (4)(5)\right) + \hat{k} \left((1)(-1) - (-3)(5)\right)
\]

\[
\vec{w} \times \vec{u} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(3 - 20) + \hat{k}(-1 + 15)
\]

\[
\vec{w} \times \vec{u} = -5\hat{i} + 17\hat{j} + 14\hat{k}
\]

Luego calculamos el producto punto \( \vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u}) \):

\[
\vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u}) = (-\hat{i} - 5\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 17\hat{j} + 14\hat{k})
\]

\[
\vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u}) = (-1)(-5) + (0)(17) + (-5)(14)
\]

\[
\vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u}) = 5 - 70 = -65
\]

### Resumen de Resultados

- **a.** No es una operación válida.
- **b.** \( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = 0 \)
- **c.** El producto de un escalar y un vector requiere claridad en la operación.
- **d.** \( \vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u}) = -65 \)

¿Necesitas más detalles o aclaraciones sobre alguno de estos cálculos? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué operaciones son válidas en el álgebra vectorial?
2. ¿Cómo se define el producto cruz entre dos vectores?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica del producto escalar?
4. ¿En qué situaciones es útil el producto cruz en física?
5. ¿Cómo se puede verificar la ortogonalidad de dos vectores?

**Tip:** El producto cruz entre dos vectores da como resultado un tercer vector que es perpendicular a ambos vectores originales.

Dados los vectores 𝑢⃗ = 5𝑖̂ − 𝑗̂ + 3𝑘̂ , 𝑣 = −𝑖̂ − 5𝑘̂ y 𝑤⃗⃗ = 𝑖̂ − 3𝑗̂ + 4𝑘̂ de ℝ3, introduzca un paréntesis conveniente y resuelva las operaciones dadas a continuación: a. 𝑣 /𝑤⃗⃗ ∙ 𝑢⃗ b. 𝑢⃗ ∙ 𝑣 + 𝑤⃗⃗ c. 𝑣 𝑢⃗ ∙ 𝑤⃗⃗ d. 𝑣 ∙ 𝑤⃗⃗ × 𝑢

Explore vector operations in ℝ3, including dot and cross products, with a detailed solution to problems involving vectors u, v, and w. Learn how to perform these operations and understand key vector algebra concepts. Suitable for students in Grades 11-12.

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