Vamos a resolver cada una de las operaciones dadas con los vectores $\vec{u} = 5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{v} = -\hat{i} - 5\hat{k}$, y $\vec{w} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.

a. $\frac{\vec{v}}{\vec{w}} \cdot \vec{u}$

Primero, notemos que la expresión $\frac{\vec{v}}{\vec{w}}$ no es una operación válida en el álgebra vectorial tradicional. Dividir un vector por otro no está definido en $\mathbb{R}^3$. Es probable que haya un error en la formulación o una notación incorrecta. Si se trata de un producto escalar o producto vectorial, podríamos reformular la pregunta. En cualquier caso, no podemos resolver esto como está.

b. $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$

Primero sumamos los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$:

$\vec{v} + \vec{w} = (-\hat{i} - 5\hat{k}) + (\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$ $\vec{v} + \vec{w} = (0\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})$

Luego calculamos el producto punto con $\vec{u}$:

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = (5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (0\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})$

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = (5 \times 0) + (-1 \times -3) + (3 \times -1)$ $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = 0 + 3 - 3 = 0$

c. $(\vec{v} \cdot \vec{u}) \cdot \vec{w}$

Primero, calculamos el producto punto $\vec{v} \cdot \vec{u}$:

$\vec{v} \cdot \vec{u} = (-\hat{i} - 5\hat{k}) \cdot (5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$

$\vec{v} \cdot \vec{u} = (-1 \times 5) + (0 \times -1) + (-5 \times 3)$ $\vec{v} \cdot \vec{u} = -5 - 15 = -20$

Luego multiplicamos este resultado por el vector $\vec{w}$, pero esta operación no es una operación válida entre un escalar y un vector en la forma usual presentada. Si quisieras el producto punto entre $\vec{w}$ y $\vec{v} \cdot \vec{u}$, tendrías que definir más claramente la operación.

d. $\vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u})$

Primero calculamos el producto cruz $\vec{w} \times \vec{u}$:

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