gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu interval ke monoton Extreme fungsi kecekungan titik belok dan asimtot f(x) = 2x / 1 + x²

Untuk menggambarkan grafik fungsi \( f(x) = \frac{2x}{1 + x^2} \), kita akan menganalisis karakteristik fungsi tersebut dengan langkah-langkah berikut:

1. **Interval Ke-monoton-an**: Ditemukan dengan mencari turunan pertama, \( f'(x) \).
2. **Ekstrem Fungsi**: Ditemukan dengan mencari nilai kritis dari \( f'(x) \) dan mengevaluasi menggunakan uji tanda.
3. **Kecekungan dan Titik Belok**: Ditemukan dengan mencari turunan kedua, \( f''(x) \), dan menentukan perubahan tanda dari \( f''(x) \).
4. **Asimtot**: Mencari asimtot horizontal, vertikal, dan miring jika ada.

### 1. Turunan Pertama (\( f'(x) \))
Turunan pertama dari \( f(x) \) adalah:
\[
f'(x) = \frac{(1+x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1+x^2)^2}
\]

Setarakan \( f'(x) = 0 \):
\[
\frac{2(1 - x^2)}{(1+x^2)^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1
\]

- **Interval**:
  - \( f'(x) > 0 \) untuk \( -1 < x < 1 \): Fungsi naik.
  - \( f'(x) < 0 \) untuk \( x < -1 \) dan \( x > 1 \): Fungsi turun.

### 2. Ekstrem Fungsi
- Nilai kritis: \( x = -1 \) dan \( x = 1 \).
- Nilai fungsi pada titik-titik kritis:
  - \( f(-1) = \frac{2(-1)}{1 + 1^2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
  - \( f(1) = \frac{2(1)}{1 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1 \)

  Jadi, terdapat maksimum lokal di \( x = 1 \) dan minimum lokal di \( x = -1 \).

### 3. Turunan Kedua (\( f''(x) \))
Turunan kedua dari \( f(x) \) adalah:
\[
f''(x) = \frac{(1+x^2)^2(-4x) - (2(1-x^2)(2x))}{(1+x^2)^4} = \frac{-4x(1+x^2)^2 - 4x(1-x^2)(1+x^2)}{(1+x^2)^3}
\]

Menyederhanakannya akan cukup rumit, tetapi kita dapat menentukan titik belok dengan mengevaluasi perubahan tanda dari \( f''(x) \).

### 4. Asimtot
- **Asimtot Horizontal**:
  \[
  \lim_{{x \to \infty}} f(x) = \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x}{1 + x^2} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{x} = 0
  \]
  Jadi, terdapat asimtot horizontal di \( y = 0 \).

- **Asimtot Vertikal**:
  Fungsi ini tidak memiliki asimtot vertikal karena \( 1 + x^2 \neq 0 \) untuk semua \( x \).

### Grafik Fungsi
Grafik fungsi ini memiliki:
- **Maksimum lokal** di \( (1, 1) \).
- **Minimum lokal** di \( (-1, -1) \).
- **Asimtot horizontal** di \( y = 0 \).

Jika perlu, saya bisa membuatkan grafik visualisasi fungsi ini. Apakah Anda ingin saya menampilkan grafiknya?

---

**Pertanyaan Terkait:**

1. Bagaimana cara mencari titik belok secara lebih rinci?
2. Bagaimana metode uji turunan pertama untuk menentukan interval naik-turun?
3. Apakah ada cara lain untuk mencari asimtot horizontal?
4. Apa peran asimtot dalam analisis grafik?
5. Bagaimana cara mengidentifikasi kecekungan fungsi?

**Tip:** Untuk memudahkan analisis grafik, selalu mulai dengan mencari turunan pertama untuk interval monoton dan turunan kedua untuk kecekungan.

Pelajari cara menggambarkan grafik fungsi f(x) = 2x / (1 + x²) dengan menganalisis interval ke-monoton-an, ekstrem fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot. Kami menggunakan metode turunan pertama dan kedua serta menemukan asimtot horizontal. Cocok untuk mahasiswa kalkulus tingkat pemula.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation