Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции $y = \sqrt[3]{1 + x^3}$ нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем первую производную функции.

Функция имеет вид: $y = \sqrt[3]{1 + x^3} = (1 + x^3)^{1/3}$

Используем правило дифференцирования сложной функции для нахождения производной. Для функции вида $(u(x))^n$, где $u(x)$ — это выражение, зависящее от $x$, а $n$ — степень, производная будет вычисляться как: $\frac{d}{dx}\left[ (u(x))^n \right] = n(u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$ где $u(x) = 1 + x^3$, а $n = \frac{1}{3}$.

Теперь находим производную: $y' = \frac{1}{3} \cdot (1 + x^3)^{-2/3} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^3)$ Производная от $1 + x^3$ равна $3x^2$. Подставляем это в выражение: $y' = \frac{1}{3} \cdot (1 + x^3)^{-2/3} \cdot 3x^2$ Упростим: $y' = x^2 \cdot (1 + x^3)^{-2/3}$

2. Найдем критические точки.

Критические точки возникают, когда производная равна нулю или не существует.

• Производная $y' = 0$ при $x^2 = 0$, что дает $x = 0$.
• Производная не существует, когда знаменатель $(1 + x^3)^{-2/3}$ равен нулю, но это невозможно, так как $1 + x^3 \neq 0$ для всех действительных $x$.

Таким образом, единственная критическая точка — это $x = 0$.

3. Определим тип экстремума в точке $x = 0$.

Для этого можно использовать знак производной на интервалах, разделенных точкой $x = 0$.

• Для $x > 0$: $x^2 > 0$ и $(1 + x^3) > 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает.
• Для $x < 0$: $x^2 > 0$ и $(1 + x^3) > 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция также возрастает.

Так как производная не меняет знак, точка $x = 0$ не является экстремумом.

4. Промежутки монотонности.

Так как производная положительна на всей оси $x$ (кроме точки $x = 0$), функция возрастает на всей области $(-\infty, \infty)$.

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области $(-\infty, \infty)$.
• Экстремумы: экстремумов нет.

Если вам нужны дополнительные разъяснения или хотите рассмотреть другие примеры, пожалуйста, сообщите! Вот несколько вопросов для углубления:

1. Как найти промежутки монотонности для функции с другими видами степеней (например, $x^2$, $x^n$)?
2. Что такое точка перегиба функции и как ее найти?
3. Как использовать вторую производную для определения выпуклости и вогнутости графика функции?
4. Как изменится монотонность функции при добавлении линейных или других сложных членов?
5. Какие еще методы анализа функции существуют помимо анализа производных?

Совет: Всегда помните, что важно не только найти критические точки, но и проверить, не изменяется ли знак производной на соседних интервалах, чтобы точно определить тип экстремума.