Để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = x + \frac{3}{\sqrt{x}}$ bằng đạo hàm, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số

Hàm số có điều kiện $\sqrt{x}$ nên để hàm số xác định, ta phải có $x > 0$. Vậy, miền xác định của hàm số là $(0; +\infty)$.

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số

Ta có hàm số: $y = x + \frac{3}{\sqrt{x}} = x + 3x^{-\frac{1}{2}}$ Bây giờ ta tính đạo hàm của hàm số: $y' = 1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}} = 1 - \frac{3}{2} x^{-\frac{3}{2}}$ Hay có thể viết lại: $y' = 1 - \frac{3}{2\sqrt{x^3}}$

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến

Ta cần giải bất phương trình $y' > 0$ để tìm khoảng đồng biến và $y' < 0$ để tìm khoảng nghịch biến.

Đồng biến: $y' > 0$

$1 - \frac{3}{2\sqrt{x^3}} > 0$ $1 > \frac{3}{2\sqrt{x^3}}$ $2\sqrt{x^3} > 3$ $\sqrt{x^3} > \frac{3}{2}$ Bình phương hai vế: $x^3 > \frac{9}{4}$ Lấy căn bậc ba hai vế: $x > \sqrt[3]{\frac{9}{4}} \approx 1.31$ Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng $( \sqrt[3]{\frac{9}{4}}; +\infty)$.

Nghịch biến: $y' < 0$

Ta có khoảng nghịch biến là $(0; \sqrt[3]{\frac{9}{4}})$.

Kết luận:

• Hàm số đồng biến trên khoảng $( \sqrt[3]{\frac{9}{4}}; +\infty)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; \sqrt[3]{\frac{9}{4}})$.

Bạn có muốn chi tiết hơn về cách tính không?
Dưới đây là 5 câu hỏi mở rộng liên quan:

1. Làm thế nào để xác định miền xác định của hàm chứa căn?
2. Tại sao khi xét dấu đạo hàm ta cần giải bất phương trình?
3. Đạo hàm của một hàm lũy thừa được tính như thế nào?
4. Hàm số có thể đồng biến và nghịch biến trên cùng một đoạn không?
5. Khi nào cần sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số?

Mẹo: Khi giải bất phương trình chứa căn, hãy đảm bảo mọi phép biến đổi đều hợp lệ với điều kiện miền xác định!