Задача:

Найти интервалы монотонного возрастания функции:
$y = \sqrt[3]{(x^2 - 4x - 3)^2}$

Анализируем предложенные интервалы:

• $(-2, -1)$
• $(3, 4)$
• $(1, 2)$
• Возможность, что таких интервалов нет.

Решение:

1. Производная функции:
   Для определения монотонности функции, нужно найти производную $y'(x)$. Пусть:
   $z = x^2 - 4x - 3, \quad y = \sqrt[3]{z^2}.$
   Используем правило цепочки:
   $y'(x) = \frac{d}{dx}\left(z^2\right) \cdot \frac{d}{dz}\left(\sqrt[3]{z^2}\right).$

Первая производная:
$\frac{d}{dz} \sqrt[3]{z^2} = \frac{2}{3}z^{-\frac{1}{3}}, \quad \text{поэтому: } \ y'(x) = \frac{4z}{3} \cdot z^{-\frac{1}{3}} = \frac{4z^{2/3}}{3}.$

Далее, учитываем область определения $z > 0$ для анализа.

sympy import symbols, diff, solve, simplify

Define variables and function

x = symbols('x') z = x2 - 4*x - 3 # Inner function y = (z2)**(1/3) # Original function

Calculate the derivative

y_prime = diff(y, x) simplified_y_prime = simplify(y_prime)

Solve for critical points

critical_points = solve(simplified_y_prime, x) simplified_y_prime, critical_points### Решение: Производная функции $y(x)$ после упрощения:
$y'(x) = \frac{4z^{2/3}}{3z} = \frac{4}{3}z^{-\frac{1}{3}}, \quad \text{где } z = x^2 - 4x - 3.$

Критическая точка (где $y'(x) = 0$ или не определена):
$x = 2.$

Анализ монотонности:

Производная $y'(x)$:

1. Определена при $z > 0$ (то есть $x^2 - 4x - 3 > 0$).
   Решим неравенство $x^2 - 4x - 3 > 0$:
   $x^2 - 4x - 3 = 0 \implies x = -1, x = 3.$ Значит, $z > 0$ на интервалах $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

2. На каждом интервале определяем знак производной:
   $y'(x) > 0 \text{ при } z > 0, \text{ так как } z^{-\frac{1}{3}} \text{ сохраняет положительность на интервалах.}$

Ответ:

Функция возрастает на интервалах:

• $(-\infty, -1)$,
• $(3, \infty)$.

Из предложенных вариантов верным является $(3, 4)$.

Если что-то непонятно, могу подробнее объяснить!

Вопросы для закрепления:

1. Что значит монотонность функции?
2. Как определить, где функция возрастает или убывает?
3. Как учитывать область определения производной?
4. Почему критические точки важны для анализа монотонности?
5. Что делать, если производная не определена?

Совет: Всегда анализируйте область определения функции перед вычислениями.