Для нахождения наименьшего значения функции $y = 14x^2(x - 3)$ на отрезке $[-1; 4]$, следуем нескольким шагам:

1. Найдем производную функции

Для начала найдем производную функции $y = 14x^2(x - 3)$, применив правило произведения:

$y' = 14 \left( 2x(x - 3) + x^2 \right)$

Распишем это:

$y' = 14 \left( 2x^2 - 6x + x^2 \right) = 14 \cdot (3x^2 - 6x)$ $y' = 42x(x - 2)$

2. Найдем критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

$42x(x - 2) = 0$

Решаем уравнение:

$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2$

Таким образом, критические точки на интервале $[-1; 4]$ — это $x = 0$ и $x = 2$.

3. Оценим значения функции в критических точках и на концах отрезка

Теперь вычислим значение функции в точках $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ и $x = 4$, поскольку на концах отрезка могут быть экстремумы.

1. При $x = -1$: $y(-1) = 14(-1)^2(-1 - 3) = 14 \cdot 1 \cdot (-4) = -56$

2. При $x = 0$: $y(0) = 14(0)^2(0 - 3) = 0$

3. При $x = 2$: $y(2) = 14(2)^2(2 - 3) = 14 \cdot 4 \cdot (-1) = -56$

4. При $x = 4$: $y(4) = 14(4)^2(4 - 3) = 14 \cdot 16 \cdot 1 = 224$

4. Определим наименьшее значение

Из вычисленных значений функции:

• $y(-1) = -56$
• $y(0) = 0$
• $y(2) = -56$
• $y(4) = 224$

Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 4]$ равно $-56$, оно достигается в точках $x = -1$ и $x = 2$.

Ответ:

Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 4]$ равно $\boxed{-56}$.

---

Если вам нужны дополнительные разъяснения или уточнения, пожалуйста, дайте знать! А вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как можно найти наибольшее значение функции на отрезке?
2. Что такое вторая производная, и как она помогает анализировать экстремумы?
3. Как применить метод численных методов для нахождения экстремумов функции?
4. Чем отличается метод экстремумов для функций с несколькими переменными?
5. Как можно доказать, что функция имеет экстремумы именно в найденных точках?

Совет: Чтобы уверенно работать с экстремумами, всегда полезно проверять результаты с помощью второй производной или других методов (например, анализа знаков производной).