برای پیدا کردن مقدار حداقل (Minimum) تابع $f(x) = x^2 - 4x + 9$، باید ابتدا مشتق اول تابع را حساب کرده و سپس نقاط بحرانی (Critical points) را پیدا کنیم.

گام 1: مشتق اول تابع را حساب می‌کنیم

مشتق اول تابع $f(x) = x^2 - 4x + 9$ را محاسبه می‌کنیم:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 - 4x + 9 \right) = 2x - 4$

گام 2: تعیین نقاط بحرانی

برای پیدا کردن نقاط بحرانی، مشتق اول را برابر صفر قرار می‌دهیم و $x$ را حل می‌کنیم:

$2x - 4 = 0$

حل می‌کنیم:

$2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2$

گام 3: بررسی نوع نقطه بحرانی

برای اینکه مشخص کنیم که نقطه $x = 2$ مینیمم است یا ماکسیمم، از مشتق دوم استفاده می‌کنیم.

مشتق دوم تابع $f(x)$ را محاسبه می‌کنیم:

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x - 4 \right) = 2$

از آنجا که $f''(x) = 2$ یک عدد مثبت است، بنابراین $x = 2$ یک نقطه مینیمم است.

گام 4: محاسبه مقدار تابع در نقطه مینیمم

حالا که مشخص کردیم $x = 2$ نقطه مینیمم است، مقدار تابع را در این نقطه محاسبه می‌کنیم:

$f(2) = (2)^2 - 4(2) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5$

نتیجه:

مقدار مینیمم تابع $f(x) = x^2 - 4x + 9$ برابر با $5$ است که در $x = 2$ بدست می‌آید.

آیا نیاز به توضیحات بیشتر دارید یا سوال دیگری دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان از مشتق دوم برای شناسایی نوع نقاط بحرانی استفاده کرد؟
2. چه روش‌هایی برای یافتن مینیمم و ماکسیمم توابع درجه دوم دیگر وجود دارد؟
3. در صورت تغییر ضریب‌های تابع درجه دوم، چگونه مقدار مینیمم تغییر می‌کند؟
4. چه تفاوت‌هایی بین مینیمم و ماکسیمم در توابع درجه دوم وجود دارد؟
5. چگونه می‌توان معادلات درجه دوم را به فرم استاندارد $ax^2 + bx + c$ تبدیل کرد؟

نکته: برای توابع درجه دوم به صورت $f(x) = ax^2 + bx + c$، همیشه مقدار مینیمم یا ماکسیمم در $x = \frac{-b}{2a}$ اتفاق می‌افتد.