Math Problem Statement

Найдите точку минимума функции 1) y= (x-1)°(x+4)+10;

Solution

Найдем точку минимума функции:
y=(x1)2(x+4)+10y = (x-1)^2(x+4) + 10

Для этого выполним следующие шаги:


Шаг 1: Найти производную функции

Чтобы найти критические точки (экстремумы), нужно вычислить производную yy'. Используем правило произведения для (x1)2(x+4)(x-1)^2 \cdot (x+4):

y=uv, где u=(x1)2,v=(x+4).y = u \cdot v, \text{ где } u = (x-1)^2, \, v = (x+4). Тогда производная будет: y=uv+uv,y' = u'v + uv', где:

  • u=2(x1)u' = 2(x-1), так как производная (x1)2(x-1)^2 равна 2(x1)2(x-1);
  • v=1v' = 1, так как производная (x+4)(x+4) равна 11.

Подставим это в формулу для производной: y=2(x1)(x+4)+(x1)21.y' = 2(x-1)(x+4) + (x-1)^2 \cdot 1.

Раскроем скобки и упростим: y=2(x1)(x+4)+(x1)2.y' = 2(x-1)(x+4) + (x-1)^2. Раскроем каждое слагаемое:

  1. 2(x1)(x+4)=2(x2+4xx4)=2(x2+3x4)=2x2+6x82(x-1)(x+4) = 2\left(x^2 + 4x - x - 4\right) = 2(x^2 + 3x - 4) = 2x^2 + 6x - 8;
  2. (x1)2=x22x+1(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1.

Таким образом: y=2x2+6x8+x22x+1.y' = 2x^2 + 6x - 8 + x^2 - 2x + 1.

Соберем подобные члены: y=(2x2+x2)+(6x2x)+(8+1)=3x2+4x7.y' = (2x^2 + x^2) + (6x - 2x) + (-8 + 1) = 3x^2 + 4x - 7.


Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся из условия y=0y' = 0. Решим квадратное уравнение: 3x2+4x7=0.3x^2 + 4x - 7 = 0.

Решим с помощью формулы для корней квадратного уравнения: x=b±b24ac2a,x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a=3a = 3, b=4b = 4, c=7c = -7.

Подставим коэффициенты: x=4±4243(7)23.x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3}. x=4±16+846.x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6}. x=4±1006.x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{6}. x=4±106.x = \frac{-4 \pm 10}{6}.

Рассчитаем два корня:

  1. x1=4+106=66=1x_1 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1;
  2. x2=4106=146=73x_2 = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}.

Шаг 3: Проверка на минимум

Чтобы определить, является ли каждая из критических точек минимумом, используем вторую производную yy'':

y=3x2+4x7    y=6x+4.y' = 3x^2 + 4x - 7 \implies y'' = 6x + 4.

  1. Для x=1x = 1: y(1)=6(1)+4=10>0.y''(1) = 6(1) + 4 = 10 > 0. Так как y>0y'' > 0, точка x=1x = 1 является точкой минимума.

  2. Для x=73x = -\frac{7}{3}: y(73)=6(73)+4=14+4=10<0.y''\left(-\frac{7}{3}\right) = 6\left(-\frac{7}{3}\right) + 4 = -14 + 4 = -10 < 0. Так как y<0y'' < 0, точка x=73x = -\frac{7}{3} является точкой максимума.


Шаг 4: Найти значение функции в точке минимума

Подставим x=1x = 1 в исходную функцию: y=(x1)2(x+4)+10.y = (x-1)^2(x+4) + 10. При x=1x = 1: y=(11)2(1+4)+10=05+10=10.y = (1-1)^2(1+4) + 10 = 0 \cdot 5 + 10 = 10.


Ответ:

Точка минимума функции:
x=1,y=10.x = 1, \, y = 10.


Хотите подробное объяснение для второй точки или график функции?

Пять похожих вопросов:

  1. Найти точки экстремума функции y=x33x2+4y = x^3 - 3x^2 + 4.
  2. Найти точку максимума функции y=(x+2)2(2x3)y = (x+2)^2(2x-3).
  3. Исследовать на экстремумы функцию y=x44x2y = x^4 - 4x^2.
  4. Найти производную и точки экстремума функции y=x36x2+9x+4y = x^3 - 6x^2 + 9x + 4.
  5. Определить вид критических точек функции y=x2exy = x^2e^{-x}.

Совет: Всегда проверяйте знак второй производной для критических точек, чтобы отличить минимум от максимума.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Critical Points
Derivative Analysis
Second Derivative Test

Formulas

Derivative of a product: (uv)' = u'v + uv'
Quadratic equation formula: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Second derivative test for minimum or maximum

Theorems

Critical points occur where the derivative equals zero
The sign of the second derivative determines concavity and identifies minima or maxima

Suitable Grade Level

Undergraduate (Calculus I or equivalent)