Решение задания:

Дано: функция $y = 1 + \sqrt{(x - 1)^2}$.

1. Определим область определения функции:

• Подкоренное выражение $(x - 1)^2$ всегда неотрицательно, поэтому корень определён для всех значений $x$.
• Следовательно, область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Упростим функцию:

$y = 1 + |x - 1|$ Так как $|x - 1|$ — это модуль, функция имеет разное выражение в зависимости от знака $x - 1$:

• При $x \geq 1$: $y = 1 + (x - 1) = x$
• При $x < 1$: $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$

3. Найдём производные на каждом из участков:

• При $x > 1$: $y = x$, тогда $y' = 1$.
• При $x < 1$: $y = 2 - x$, тогда $y' = -1$.

4. Исследуем поведение функции на экстремумы:

• В точке $x = 1$ производная не существует, так как функция имеет "излом".
• Чтобы определить характер точки $x = 1$, проанализируем поведение функции:
  • При $x < 1$ функция убывает ($y' = -1$).
  • При $x > 1$ функция возрастает ($y' = 1$).

Таким образом, в точке $x = 1$ функция имеет точку локального минимума.

Ответ:

• $x = -1$ не является точкой экстремума.
• $x = 1$ — точка локального минимума.

Если вам нужны подробности или дополнительные разъяснения — дайте знать!

Вопросы для расширения понимания:

1. Что происходит с производной на изломах функции?
2. Как найти экстремумы для функций с абсолютными значениями?
3. Почему точка экстремума может быть определена без производной?
4. Чем отличается глобальный минимум от локального минимума?
5. Как интерпретировать график функции $y = |x - 1| + 1$?

Совет:

При работе с функциями, содержащими модули, полезно анализировать их по частям, исключая разрывы и изломы.