Чтобы найти минимальное значение квадратичной функции и значение $x$, при котором оно достигается, рассмотрим функцию:

$f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 1$

Шаг 1: Находим производную функции.

Для нахождения точки минимума (или максимума) нам нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.

Производная функции $f(x)$ по $x$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4}x^2 + 2x - 1 \right)$

Применяем стандартные правила дифференцирования:

$f'(x) = \frac{1}{2}x + 2$

Шаг 2: Находим критическую точку.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти $x$, при котором функция может иметь экстремум:

$\frac{1}{2}x + 2 = 0$

Решаем это уравнение:

$\frac{1}{2}x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -4$

Шаг 3: Проверка второго производного теста.

Чтобы убедиться, что найденная точка является минимумом, рассмотрим вторую производную функции:

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x + 2 \right) = \frac{1}{2}$

Поскольку вторая производная положительна ($f''(x) = \frac{1}{2} > 0$), функция имеет минимум в точке $x = -4$.

Шаг 4: Находим значение функции в этой точке.

Теперь подставим $x = -4$ в исходную функцию, чтобы найти минимальное значение:

$f(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) - 1 = \frac{1}{4} \times 16 - 8 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$

Ответ:

Минимальное значение функции $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 1$ достигается при $x = -4$, и это минимальное значение равно $-5$.

Если есть вопросы или нужны дополнительные объяснения, не стесняйтесь спрашивать! Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как можно найти максимальное значение квадратичной функции?
2. Что такое дискриминант квадратичного уравнения и как его использовать?
3. Какие существуют способы нахождения экстремумов функции без использования производных?
4. Что означает "второй производный тест" и как его интерпретировать?
5. Как решать квадратичные неравенства?

Совет: Всегда проверяйте знак второй производной, чтобы точно определить, минимум это или максимум.