Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{a^2}{b+1} + \frac{b^2}{a+1}$ với điều kiện $a^2 + b^2 = 2$ và $a, b \neq -1$.

Bước 1: Phân tích bài toán

Điều kiện $a^2 + b^2 = 2$ gợi ý rằng $(a, b)$ có thể nằm trên đường tròn với bán kính $\sqrt{2}$, tức là các giá trị của $a$ và $b$ đều nằm trong một miền hữu hạn.

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức hoặc đối xứng

Ta có thể thử kiểm tra giá trị của $a = b$, vì biểu thức đối xứng giữa $a$ và $b$, điều này có thể giúp đơn giản hóa bài toán.

• Giả sử $a = b$, thì từ $a^2 + b^2 = 2$, ta có: $2a^2 = 2 \implies a^2 = 1 \implies a = b = \pm 1$

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức tại $a = b = 1$

Khi $a = b = 1$, ta thay vào biểu thức $P$:

$P = \frac{1^2}{1+1} + \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Bước 4: Tính giá trị tại các cặp $a, b$ khác

Giả sử $a = 0$ và $b = \sqrt{2}$, thì ta có:

$P = \frac{0^2}{\sqrt{2}+1} + \frac{(\sqrt{2})^2}{0+1} = 0 + \frac{2}{1} = 2$

Khi $a = -1$ thì không thỏa mãn điều kiện $a \neq -1$, nên ta loại trường hợp này.

Bước 5: Kết luận

Dựa trên các tính toán trên, giá trị nhỏ nhất của $P$ là 1 khi $a = b = 1$.

---

Bạn có muốn xem thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào khác không?

5 câu hỏi liên quan:

1. Có cách nào khác để giải bài toán này mà không cần giả sử đối xứng không?
2. Tại sao lại sử dụng đối xứng $a = b$ trong bài toán này?
3. Nếu điều kiện thay đổi thành $a^2 + b^2 = 4$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sẽ thay đổi như thế nào?
4. Các bài toán tối ưu liên quan đến điều kiện hình học như thế này có phương pháp tổng quát nào không?
5. Điều gì xảy ra nếu $a$ và $b$ là các số phức?

Mẹo: Khi giải các bài toán đối xứng, luôn kiểm tra trường hợp đặc biệt như $a = b$ trước tiên để đơn giản hóa biểu thức.