Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a^2}{b + 1} + \frac{b^2}{a + 1}$ với điều kiện $a^2 + b^2 = 2$ và $a, b$ là các số dương.

Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM vào các số $a^2$ và $b^2$, ta có: $a^2 + b^2 \geq 2 \sqrt{a^2 b^2}.$ Vì $a^2 + b^2 = 2$, suy ra $a^2 b^2 \leq 1$. Do đó, $ab \leq 1$.

Bước 2: Đặt giá trị đặc biệt

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $P$, thử các giá trị đặc biệt của $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 = 2$.

• Nếu đặt $a = b = 1$, thì: $P = \frac{1^2}{1 + 1} + \frac{1^2}{1 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$

Bước 3: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất

Do điều kiện $a^2 + b^2 = 2$, giá trị $P = 1$ tại $a = b = 1$ là giá trị nhỏ nhất mà ta tìm được.

Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $a = b = 1$.

---

Bạn có muốn xem thêm chi tiết về cách áp dụng bất đẳng thức hoặc có câu hỏi nào không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để sử dụng bất đẳng thức AM-GM trong các bài toán khác?
2. Có phương pháp nào khác để tìm min hoặc max trong bài toán tương tự không?
3. Điều kiện nào sẽ thay đổi kết quả nếu $a^2 + b^2 \neq 2$?
4. Tại sao biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a = b = 1$?
5. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể áp dụng trong bài toán này như thế nào?

Mẹo: Để tối ưu các bài toán chứa căn bậc hai hoặc biểu thức phân thức, việc thử các giá trị đặc biệt trước giúp xác định được manh mối về nghiệm.