我们要解决的问题是：已知 $a$ 和 $b$ 为正实数，且满足 $a^2 + b^2 + ab = 3$，求 $a + b$ 的最大值。

这是一个带约束的优化问题，我们可以通过不等式和代数变换来求解。

解法步骤：

1. 将等式转换为标准形式： 首先我们已知的条件是 $a^2 + b^2 + ab = 3$，并且我们需要最大化 $a + b$。这类问题通常可以通过尝试代入一些特殊形式来简化。

2. 对称性分析： 由于方程对 $a$ 和 $b$ 是对称的，我们可以猜测 $a = b$ 时可能会取得最大值。于是令 $a = b$，则方程变为： $2a^2 + a^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad 3a^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1$ 所以当 $a = b = 1$ 时，$a + b = 2$。

3. 验证 a+b 的最大值： 当 $a = b = 1$ 时，我们得到 $a + b = 2$，并且满足方程 $a^2 + b^2 + ab = 1^2 + 1^2 + 1 \cdot 1 = 3$，因此 $a + b = 2$ 是一个解。

4. 分析是否有更大值： 为了确保没有更大的 $a + b$，我们可以通过进一步分析约束条件下的极值，或者使用更复杂的优化方法（如拉格朗日乘数法），但通过对称性和初步代入法，我们可以猜测 $a + b = 2$ 是极大值。

因此，$a + b$ 的最大值为 2。

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你是否需要更详细的解法？或者有什么问题吗？

延伸问题：

1. 如果 $a^2 + b^2 + ab = 5$，求 $a + b$ 的最大值。
2. 如果 $a$ 和 $b$ 满足 $a^2 + b^2 + ab = 3$，且 $a - b = 1$，求 $a$ 和 $b$。
3. 如果 $a + b = 1$，求 $a^2 + b^2 + ab$ 的最小值。
4. 如果 $a$ 和 $b$ 满足 $a^2 + b^2 + 2ab = 3$，求 $a + b$ 的最大值。
5. 当 $a$ 和 $b$ 均为非负实数时，探讨 $a^2 + b^2 + ab = 0$ 是否有解？

小提示：

在处理对称性约束的问题时，尝试令变量相等往往能简化求解过程。