我们给定条件是 $a + b = 1$，且 $a > 0$ 和 $b > 0$，要求我们求解表达式 $\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right)$ 的最小值。

解决步骤：

1. 代入 $b = 1 - a$： 由于 $a + b = 1$，我们可以代入 $b = 1 - a$ 来简化问题。

2. 表达式转化： 原式 $\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right)$ 就变成了： $\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(1 - a + \frac{1}{1 - a}\right)$ 这是一个涉及 $a$ 的复杂表达式，我们可以通过求导或使用其他方法来进一步化简。

3. 尝试对称性： 由于 $a + b = 1$ 且 $a > 0, b > 0$，可以假设 $a = b$ 以简化问题，因为这样有助于找到对称的解。

4. 代入 $a = b$： 如果 $a = b$，那么 $a = b = \frac{1}{2}$。代入这个值到原式： $\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} + 2 \right)^2 = \left( 2.5 \right)^2 = 6.25$

   因此，$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right)$ 的最小值是 6.25。

结论：

当 $a = b = \frac{1}{2}$ 时，表达式 $\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(b + \frac{1}{b}\right)$ 的最小值为 6.25。

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想进一步了解吗？

1. 为什么我们考虑假设 $a = b$ 来简化问题？
2. 如何通过求导来求解该问题？
3. 这个最小值是如何确定的？是不是通过其他方法也可以得出相同的结论？
4. 如果没有对称性条件，是否能得出同样的最小值？
5. 这个问题的结果与其他类似的优化问题有什么关联？

数学小贴士： 对于包含对称条件的优化问题（如 $a + b = 1$），尝试假设对称解（即 $a = b$）有时可以大大简化计算，特别是在使用对称性质的情形下。