Diketahui bahwa anak menabung dengan pola yang mengikuti barisan aritmetika, di mana:

• Tabungan minggu ke-8 ($U_8$) = Rp200.000,00
• Tabungan minggu ke-12 ($U_{12}$) = Rp280.000,00

Kita harus mencari jumlah minggu minimal agar jumlah tabungan mencapai Rp4.800.000,00.

1. Menentukan beda (selisih tetap)

Dalam barisan aritmetika, rumus suku ke-$n$ adalah:

$U_n = a + (n-1) d$

Di mana:

• $a$ = suku pertama
• $d$ = beda (selisih tetap)
• $n$ = nomor suku

Dari dua persamaan yang diketahui:

$a + 7d = 200.000$

$a + 11d = 280.000$

Mengurangkan kedua persamaan:

$(a + 11d) - (a + 7d) = 280.000 - 200.000$

$4d = 80.000$

$d = 20.000$

2. Menentukan suku pertama ($a$)

Substitusi $d = 20.000$ ke persamaan $a + 7d = 200.000$:

$a + 7(20.000) = 200.000$

$a + 140.000 = 200.000$

$a = 60.000$

3. Menentukan jumlah minggu minimal agar tabungan mencapai Rp4.800.000,00

Jumlah tabungan setelah $n$ minggu dihitung dengan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika:

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

Substitusi nilai $S_n = 4.800.000$, $a = 60.000$, dan $d = 20.000$:

$\frac{n}{2} (2(60.000) + (n-1)(20.000)) = 4.800.000$

$\frac{n}{2} (120.000 + 20.000n - 20.000) = 4.800.000$

$\frac{n}{2} (100.000 + 20.000n) = 4.800.000$

$n (100.000 + 20.000n) = 9.600.000$

$20.000n^2 + 100.000n - 9.600.000 = 0$

4. Menyelesaikan persamaan kuadrat

$2.000n^2 + 10.000n - 960.000 = 0$

Bagi semua suku dengan 2.000:

$n^2 + 5n - 480 = 0$

Gunakan rumus kuadratik $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, dengan $a = 1$, $b = 5$, dan $c = -480$:

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1920}}{2}$

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{1945}}{2}$

$n = \frac{-5 \pm 44.07}{2}$

$n_1 = \frac{-5 + 44.07}{2} = \frac{39.07}{2} = 19.54$

$n_2 = \frac{-5 - 44.07}{2} \text{ (negatif, tidak mungkin)}$

Karena $n$ harus bilangan bulat, ambil nilai minimal $n = 20$.

Kesimpulan

Jadi, lama waktu minimal agar sang anak mampu membeli sepeda adalah 20 minggu.

---

Apakah ada bagian yang perlu dijelaskan lebih lanjut? 😊

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan rumus jumlah suku dalam barisan aritmetika?
2. Mengapa kita menggunakan rumus kuadratik dalam penyelesaian ini?
3. Apa yang terjadi jika beda tabungan lebih besar atau lebih kecil?
4. Bagaimana cara menentukan $n$ tanpa menggunakan rumus kuadratik?
5. Bagaimana jika anak menabung dengan pola geometri, bukan aritmetika?

Tip: Selalu periksa solusi dengan substitusi nilai kembali ke rumus utama! 🚀