Uma loja compra camisetas a R$ 5,00 a unidade. A loja a revende 
por R$ 18,00 e a este preço vende 100 camisetas por mês. Para estimular a venda, 
a loja planeja reduzir o preço de venda. Estima-se que para cada redução de R$ 
1,00 no preço, a loja venderá 25 camisetas a mais por mês.
a) Expresse o lucro em função do número de reduções no preço.
b) Esboce o gráfico de ( ).
c) Qual a redução no preço que trará o maior lucro?

### a) Expresse o lucro em função do número de reduções no preço

Vamos definir as variáveis envolvidas:

- O preço atual de venda da camiseta é $ R = 18 $ reais.
- O preço de custo de cada camiseta é $ C = 5 $ reais.
- O número de reduções no preço será representado por $ x $, sendo que cada redução no preço é de R$ 1,00.
- Para cada redução de $ 1 $ real, a loja venderá $ 25 $ camisetas a mais. Logo, se sem redução o número de camisetas vendidas é $ 100 $, com $ x $ reduções, o número de camisetas vendidas será $ 100 + 25x $.

A receita ($ R(x) $) é o número de camisetas vendidas vezes o preço de venda após $ x $ reduções:

\[
R(x) = (100 + 25x) \cdot (18 - x)
\]

O custo total ($ C(x) $) é o número de camisetas vendidas vezes o preço de custo, que é R$ 5,00:

\[
C(x) = (100 + 25x) \cdot 5
\]

O lucro ($ L(x) $) é dado pela diferença entre a receita e o custo total:

\[
L(x) = R(x) - C(x)
\]

Substituindo $ R(x) $ e $ C(x) $:

\[
L(x) = (100 + 25x) \cdot (18 - x) - (100 + 25x) \cdot 5
\]

Simplificando:

\[
L(x) = (100 + 25x) \cdot (18 - x - 5)
\]

\[
L(x) = (100 + 25x) \cdot (13 - x)
\]

Portanto, a função lucro em termos do número de reduções $ x $ é:

\[
L(x) = (100 + 25x) \cdot (13 - x)
\]

### b) Esboce o gráfico de $ L(x) $

O gráfico da função $ L(x) = (100 + 25x) \cdot (13 - x) $ é um gráfico parabólico, pois é uma função quadrática. Para esboçá-lo, basta identificar o comportamento da função:

- Quando $ x = 0 $, o lucro será:
  \[
  L(0) = 100 \cdot 13 = 1300
  \]
- Quando $ x $ aumenta, a função cresce até atingir um ponto máximo (pico), depois começa a diminuir.

### c) Qual a redução no preço que trará o maior lucro?

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro, podemos expandir a função $ L(x) $:

\[
L(x) = (100 + 25x)(13 - x) = 1300 + 325x - 25x^2
\]

Essa é uma função quadrática da forma $ L(x) = -25x^2 + 325x + 1300 $, e o valor de $ x $ que maximiza o lucro ocorre no vértice da parábola, dado por:

\[
x = \frac{-b}{2a}
\]

Onde $ a = -25 $ e $ b = 325 $:

\[
x = \frac{-325}{2 \cdot (-25)} = \frac{325}{50} = 6,5
\]

Logo, o número de reduções no preço que trará o maior lucro é $ 6,5 $ reais.

### Resumo das respostas:
- a) $ L(x) = (100 + 25x) \cdot (13 - x) $
- b) O gráfico de $ L(x) $ é parabólico e atinge um ponto máximo.
- c) A redução no preço que trará o maior lucro é de R$ 6,50.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre algum ponto? 

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:
1. Como o custo impacta a maximização do lucro?
2. O que aconteceria se o preço não fosse reduzido?
3. Como a função quadrática reflete no comportamento do lucro?
4. Qual seria o impacto de reduzir mais de 6,5 reais?
5. Como as vendas seriam afetadas por uma redução no preço?

**Dica**: A maximização do lucro em problemas quadráticos sempre ocorre no vértice da parábola, determinado por $ x = \frac{-b}{2a} $.

Uma loja compra camisetas a R$ 5,00 a unidade. A loja a revende por R$ 18,00 e a este preço vende 100 camisetas por mês. Para estimular a venda, a loja planeja reduzir o preço de venda. Estima-se que para cada redução de R$ 1,00 no preço, a loja venderá 25 camisetas a mais por mês. a) Expresse o lucro em função do número de reduções no preço. b) Esboce o gráfico de ( ). c) Qual a redução no preço que trará o maior lucro?

Learn how to maximize profit by reducing the price of a product. In this problem, a store selling T-shirts reduces its price, leading to increased sales. Using quadratic functions, we calculate the optimal reduction to achieve maximum profit. Suitable for students in Grades 9-12.

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