1. A fun¸c˜ao densidade conjunta de X e Y ´e dado por fX,Y (x, y) =  1/2, −1 < x < 1, 0 < y < 1, 0, o.c. (a) X e Y s˜ao independentes?. Justifique; (b) Calcule P(X < Y ).

Dada a função densidade conjunta \( f_{X,Y}(x, y) \) para \( X \) e \( Y \), que é definida como:

\[
f_{X,Y}(x, y) =
\begin{cases}
\frac{1}{2}, & \text{se } -1 < x < 1 \text{ e } 0 < y < 1, \\
0, & \text{caso contrário}.
\end{cases}
\]

Vamos resolver as partes solicitadas:

### (a) \( X \) e \( Y \) são independentes?

Para verificar se \( X \) e \( Y \) são independentes, precisamos verificar se a função densidade conjunta \( f_{X,Y}(x, y) \) pode ser escrita como o produto das funções densidade marginais de \( X \) e \( Y \), ou seja, se:

\[
f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)
\]

#### Passo 1: Densidade marginal de \( X \)
Para encontrar a densidade marginal de \( X \), integramos \( f_{X,Y}(x, y) \) em relação a \( y \):

\[
f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dy = \int_0^1 \frac{1}{2} \, dy = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}, \quad -1 < x < 1.
\]

Portanto:

\[
f_X(x) = \frac{1}{2}, \quad -1 < x < 1.
\]

#### Passo 2: Densidade marginal de \( Y \)
Agora, integramos \( f_{X,Y}(x, y) \) em relação a \( x \) para obter \( f_Y(y) \):

\[
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx = \int_{-1}^1 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1, \quad 0 < y < 1.
\]

Portanto:

\[
f_Y(y) = 1, \quad 0 < y < 1.
\]

#### Passo 3: Verificando a independência
Agora verificamos se o produto \( f_X(x) f_Y(y) \) é igual a \( f_{X,Y}(x, y) \):

\[
f_X(x) f_Y(y) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}, \quad -1 < x < 1 \text{ e } 0 < y < 1.
\]

Como \( f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) \), concluímos que **\( X \) e \( Y \) são independentes**.

---

### (b) Calcule \( P(X < Y) \)

Agora, para calcular \( P(X < Y) \), precisamos resolver a integral:

\[
P(X < Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{y} f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy.
\]

Sabemos que \( f_{X,Y}(x, y) = \frac{1}{2} \) no intervalo \( -1 < x < 1 \) e \( 0 < y < 1 \), portanto a integral se torna:

\[
P(X < Y) = \int_0^1 \int_{-1}^{y} \frac{1}{2} \, dx \, dy.
\]

#### Passo 1: Integração em relação a \( x \)

\[
\int_{-1}^{y} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} (y - (-1)) = \frac{1}{2} (y + 1).
\]

#### Passo 2: Integração em relação a \( y \)

Agora integramos em relação a \( y \):

\[
P(X < Y) = \int_0^1 \frac{1}{2} (y + 1) \, dy = \frac{1}{2} \left( \int_0^1 y \, dy + \int_0^1 1 \, dy \right).
\]

Calculando essas integrais:

\[
\int_0^1 y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2},
\]
\[
\int_0^1 1 \, dy = 1.
\]

Portanto:

\[
P(X < Y) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}.
\]

---

### Resumo das respostas:
- **(a)** \( X \) e \( Y \) são independentes.
- **(b)** \( P(X < Y) = \frac{3}{4} \).

Quer mais detalhes ou alguma outra pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. O que significa a independência de variáveis aleatórias?
2. Como calcular a densidade marginal de uma variável aleatória?
3. Qual a interpretação de \( P(X < Y) \) em termos de probabilidade?
4. Como a função densidade conjunta afeta a relação entre \( X \) e \( Y \)?
5. Quais seriam os passos se a função densidade conjunta tivesse uma forma diferente?

**Dica:** Quando as variáveis são independentes, o produto das densidades marginais nos dá a densidade conjunta.

A função densidade conjunta de X e Y é dada por fX,Y(x, y) = 1/2, −1 < x < 1, 0 < y < 1, 0, o.c. (a) X e Y são independentes?. Justifique; (b) Calcule P(X < Y).

Solve a probability problem involving the joint density function of X and Y, testing for independence and calculating P(X < Y) using integration techniques. Detailed solution includes core probability concepts and step-by-step integration. Suitable for undergraduate students.

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