Diketahui limas segi empat beraturan $T.PQRS$ dengan panjang $PQ = 6 \, \text{cm}$ dan $TP = 5 \, \text{cm}$. Titik $B$ adalah titik tengah $QR$. Kita diminta menentukan jarak titik $B$ ke bidang $TPS$.

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian:

1. Gambaran Struktur Limas

Limas segi empat beraturan memiliki alas berupa persegi dengan sisi $6 \, \text{cm}$ (karena $PQ = 6 \, \text{cm}$), dan titik puncak $T$ dengan tinggi $TP = 5 \, \text{cm}$. Titik $B$ adalah titik tengah dari $QR$, sehingga $B$ berada tepat di tengah sisi $QR$.

2. Koordinat Titik-Titik dalam Limas

Misalkan koordinat titik-titik sebagai berikut:

• $P = (0, 0, 0)$
• $Q = (6, 0, 0)$
• $R = (6, 6, 0)$
• $S = (0, 6, 0)$
• $T = (3, 3, 5)$ (karena titik puncak berada tepat di atas pusat persegi alas)

Koordinat titik $B$, titik tengah $QR$: $B = \left(\frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (6, 3, 0)$

3. Persamaan Bidang TPS

Untuk mencari jarak titik $B$ ke bidang $TPS$, kita perlu menemukan persamaan bidang $TPS$.

Bidang $TPS$ melewati titik $T(3, 3, 5)$, $P(0, 0, 0)$, dan $S(0, 6, 0)$. Kita cari vektor normal bidang $TPS$ dengan menghitung perkalian silang dua vektor dalam bidang ini:

• Vektor $\overrightarrow{TP} = (0 - 3, 0 - 3, 0 - 5) = (-3, -3, -5)$
• Vektor $\overrightarrow{TS} = (0 - 3, 6 - 3, 0 - 5) = (-3, 3, -5)$

Perkalian silang:

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & -3 & -5 \\ -3 & 3 & -5 \end{vmatrix} = (30, 0, -18)$$ Persamaan bidang $$TPS$$ dengan normal $$(30, 0, -18)$$ dan melalui $$T(3, 3, 5)$$: $$30(x - 3) + 0(y - 3) - 18(z - 5) = 0 \implies 30x - 18z = 24$$ ### 4. Jarak Titik B ke Bidang TPS Rumus jarak titik $$(x_1, y_1, z_1)$$ ke bidang $$Ax + By + Cz + D = 0$$: $$\text{Jarak} = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Substitusi koordinat $$B(6, 3, 0)$$ ke dalam persamaan: $$\text{Jarak} = \frac{|30(6) - 18(0) - 24|}{\sqrt{30^2 + 0^2 + (-18)^2}} = \frac{|180 - 24|}{\sqrt{900 + 324}} = \frac{156}{36} = 4.33 \, \text{cm}$$ Jadi, jarak titik $$B$$ ke bidang $$TPS$$ adalah $$4.33 \, \text{cm}$$. Apakah ada yang ingin ditanyakan atau perlukah penjelasan lebih lanjut? Berikut beberapa pertanyaan terkait: 1. Bagaimana cara menentukan titik tengah sebuah segmen? 2. Bagaimana cara mencari persamaan bidang dari tiga titik? 3. Apa langkah-langkah dalam menghitung jarak titik ke bidang? 4. Bagaimana melakukan perkalian silang dua vektor? 5. Bagaimana cara mengidentifikasi titik-titik penting dalam limas? **Tip:** Saat mencari jarak titik ke bidang, selalu periksa kembali koordinat titik dan persamaan bidang untuk memastikan perhitungan tepat!