Diberikan segitiga $\triangle POR$, dengan informasi sebagai berikut:

• $PQ = 5 \, \text{cm}$
• $PR = 12 \, \text{cm}$
• $QR = 13 \, \text{cm}$

$\triangle POR$ adalah segitiga siku-siku di $P$, sehingga $QR$ merupakan hipotenusa. Dari $P$, ditarik garis tinggi $PS$ yang memotong $QR$ di $S$. Kita diminta menghitung panjang $PS$, $QS$, dan $RS$.

1. Panjang PS menggunakan luas segitiga

Luas $\triangle POR$ bisa dihitung dengan dua cara:

1. Dari alas $PQ$ dan tinggi $PR$: $\text{Luas} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot PR = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \, \text{cm}^2$

2. Dari alas $QR$ dan tinggi $PS$: $\text{Luas} = \frac{1}{2} \cdot QR \cdot PS$

Karena luasnya sama: $30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot PS$

$PS = \frac{60}{13} \, \text{cm}$

2. Panjang QS dan RS menggunakan Teorema Garis Tinggi

Pada segitiga siku-siku, garis tinggi yang ditarik dari sudut siku-siku ke hipotenusa membagi hipotenusa menjadi dua segmen $QS$ dan $RS$. Segmen-segmen ini memenuhi sifat: $QS \cdot RS = PS^2$

Misalkan:

• $QS = x$
• $RS = y$
• $QR = 13$, maka $x + y = 13$.

Dari $QS \cdot RS = PS^2$: $x \cdot y = \left( \frac{60}{13} \right)^2 = \frac{3600}{169}$

Sistem persamaan:

1. $x + y = 13$
2. $x \cdot y = \frac{3600}{169}$

Gunakan substitusi $y = 13 - x$ ke persamaan kedua: $x \cdot (13 - x) = \frac{3600}{169}$

$13x - x^2 = \frac{3600}{169}$

$x^2 - 13x + \frac{3600}{169} = 0$

Kalikan dengan 169 untuk menghilangkan pecahan: $169x^2 - 2197x + 3600 = 0$

Gunakan rumus kuadrat: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dengan:

• $a = 169$,
• $b = -2197$,
• $c = 3600$.

$x = \frac{-(-2197) \pm \sqrt{(-2197)^2 - 4 \cdot 169 \cdot 3600}}{2 \cdot 169}$

$x = \frac{2197 \pm \sqrt{4820809 - 2433600}}{338}$

$x = \frac{2197 \pm \sqrt{2387209}}{338}$

$x = \frac{2197 \pm 1545}{338}$

Pilih dua solusi: $x = \frac{2197 + 1545}{338} = \frac{3742}{338} = 11.07 \, \text{cm}$

$x = \frac{2197 - 1545}{338} = \frac{652}{338} = 1.93 \, \text{cm}$

Jadi:

• $QS = 11.07 \, \text{cm}$,
• $RS = 1.93 \, \text{cm}$.

Jawaban Akhir:

• $PS = \frac{60}{13} \approx 4.62 \, \text{cm}$
• $QS \approx 11.07 \, \text{cm}$
• $RS \approx 1.93 \, \text{cm}$

Apakah penjelasan ini sudah cukup jelas? 😊

5 Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana hubungan antara luas segitiga dan garis tinggi?
2. Mengapa teorema Pythagoras penting dalam menghitung panjang sisi segitiga siku-siku?
3. Bagaimana cara memverifikasi hasil $QS \cdot RS = PS^2$?
4. Bagaimana menentukan koordinat titik $S$ jika titik-titik $P$, $Q$, dan $R$ diketahui?
5. Apa aplikasi praktis dari konsep garis tinggi dalam kehidupan sehari-hari?

Tip:

Selalu periksa hasil dengan sifat dasar segitiga siku-siku, seperti luas atau hubungan garis tinggi!