Math Problem Statement
Реши задание
Solution
Для решения задания на преобразование данного интеграла:
-
Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат в выражении :
Добавим и вычтем , чтобы выделить полный квадрат:
Подставим это в выражение:
Таким образом, знаменатель становится:
-
Введём замену переменной :
Тогда:
Знаменатель становится:
-
Подставим замену в интеграл:
Исходный интеграл:
Преобразуется в:
Раскладываем числитель:
-
Упростим и запишем:
Подходящая опция — та, где замена , а преобразованный интеграл записан в виде:
Правильный вариант ответа — последний вариант с .
Хотите подробный расчет интегралов или дополнительные пояснения?
Вот 5 вопросов для размышления:
- Как выделить полный квадрат для более сложных выражений?
- Почему важно использовать замену переменной в интегралах?
- Какие ещё методы применимы к подобным рациональным выражениям?
- Как использовать таблицу стандартных интегралов для решения?
- Какие замены работают лучше всего при работе с квадратными корнями?
Совет: Убедитесь, что производная новой переменной совпадает с дифференциалом старой переменной, чтобы избежать ошибок!
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Integration
Substitution Method
Completing the Square
Formulas
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C \)
Theorems
Fundamental Theorem of Calculus
Suitable Grade Level
Undergraduate Level
Related Recommendation
Integration of Rational Functions with Square Roots and Quadratics
Solve the Integral with Variable Substitution: \(\int \frac{3}{x \sqrt{x^4 - 4}} \, dx\)
Trigonometric Substitution in Integrals: Solving \int \frac{dx}{x \sqrt{1 - x^4}}
Solve Integral Using Euler's Substitution: \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 4x - 4}} \, dx \)
Integral of x^2 / sqrt(x^3 + 5) using Substitution