Для решения задания на преобразование данного интеграла:

1. Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат в выражении $4x^2 + 4x + 13$:

   $4x^2 + 4x + 13 = 4(x^2 + x) + 13.$

   Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$, чтобы выделить полный квадрат:

   $x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}.$

   Подставим это в выражение:

   $4(x^2 + x) + 13 = 4\left((x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) + 13 = 4(x + \frac{1}{2})^2 - 1 + 13 = 4(x + \frac{1}{2})^2 + 12.$

   Таким образом, знаменатель становится:

   $\sqrt{4x^2 + 4x + 13} = \sqrt{4(x + \frac{1}{2})^2 + 12}.$

2. Введём замену переменной $t = x + \frac{1}{2}$:

   Тогда: $x = t - \frac{1}{2}, \quad dx = dt.$

   Знаменатель становится: $\sqrt{4t^2 + 12}.$

3. Подставим замену в интеграл:

   Исходный интеграл: $\int \frac{x \, dx}{\sqrt{4x^2 + 4x + 13}}$

   Преобразуется в: $\int \frac{(t - \frac{1}{2}) \, dt}{\sqrt{4t^2 + 12}}.$

   Раскладываем числитель: $\int \frac{t}{\sqrt{4t^2 + 12}} \, dt - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{4t^2 + 12}}.$

4. Упростим и запишем:

   Подходящая опция — та, где замена $t = x + \frac{1}{2}$, а преобразованный интеграл записан в виде:

   $\int \frac{t}{\sqrt{4t^2 + 12}} dt - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{4t^2 + 12}}.$

Правильный вариант ответа — последний вариант с $t = x + \frac{1}{2}$.

Хотите подробный расчет интегралов или дополнительные пояснения?

Вот 5 вопросов для размышления:

1. Как выделить полный квадрат для более сложных выражений?
2. Почему важно использовать замену переменной в интегралах?
3. Какие ещё методы применимы к подобным рациональным выражениям?
4. Как использовать таблицу стандартных интегралов для решения?
5. Какие замены работают лучше всего при работе с квадратными корнями?

Совет: Убедитесь, что производная новой переменной совпадает с дифференциалом старой переменной, чтобы избежать ошибок!