Math Problem Statement

Реши задание

Преобразуйте интеграл \( \int \frac{x \, dx}{\sqrt{4x^2 + 4x + 13}} \) (выделите полный квадрат в знаменателе, сделайте замену переменной и запишите полученный интеграл).

Solution

Для решения задания на преобразование данного интеграла:

  1. Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат в выражении 4x2+4x+134x^2 + 4x + 13:

    4x2+4x+13=4(x2+x)+13.4x^2 + 4x + 13 = 4(x^2 + x) + 13.

    Добавим и вычтем 14\frac{1}{4}, чтобы выделить полный квадрат:

    x2+x=(x+12)214.x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}.

    Подставим это в выражение:

    4(x2+x)+13=4((x+12)214)+13=4(x+12)21+13=4(x+12)2+12.4(x^2 + x) + 13 = 4\left((x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) + 13 = 4(x + \frac{1}{2})^2 - 1 + 13 = 4(x + \frac{1}{2})^2 + 12.

    Таким образом, знаменатель становится:

    4x2+4x+13=4(x+12)2+12.\sqrt{4x^2 + 4x + 13} = \sqrt{4(x + \frac{1}{2})^2 + 12}.

  2. Введём замену переменной t=x+12t = x + \frac{1}{2}:

    Тогда: x=t12,dx=dt.x = t - \frac{1}{2}, \quad dx = dt.

    Знаменатель становится: 4t2+12.\sqrt{4t^2 + 12}.

  3. Подставим замену в интеграл:

    Исходный интеграл: xdx4x2+4x+13\int \frac{x \, dx}{\sqrt{4x^2 + 4x + 13}}

    Преобразуется в: (t12)dt4t2+12.\int \frac{(t - \frac{1}{2}) \, dt}{\sqrt{4t^2 + 12}}.

    Раскладываем числитель: t4t2+12dt12dt4t2+12.\int \frac{t}{\sqrt{4t^2 + 12}} \, dt - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{4t^2 + 12}}.

  4. Упростим и запишем:

    Подходящая опция — та, где замена t=x+12t = x + \frac{1}{2}, а преобразованный интеграл записан в виде:

    t4t2+12dt12dt4t2+12.\int \frac{t}{\sqrt{4t^2 + 12}} dt - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{4t^2 + 12}}.

Правильный вариант ответа — последний вариант с t=x+12t = x + \frac{1}{2}.


Хотите подробный расчет интегралов или дополнительные пояснения?

Вот 5 вопросов для размышления:

  1. Как выделить полный квадрат для более сложных выражений?
  2. Почему важно использовать замену переменной в интегралах?
  3. Какие ещё методы применимы к подобным рациональным выражениям?
  4. Как использовать таблицу стандартных интегралов для решения?
  5. Какие замены работают лучше всего при работе с квадратными корнями?

Совет: Убедитесь, что производная новой переменной совпадает с дифференциалом старой переменной, чтобы избежать ошибок!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Integration
Substitution Method
Completing the Square

Formulas

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C \)

Theorems

Fundamental Theorem of Calculus

Suitable Grade Level

Undergraduate Level