برای حل این انتگرال به روش تغییر متغیر اویلر، ابتدا انتگرال را به صورت زیر داریم:

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 4x - 4}} \, dx$

قدم اول: تبدیل متغیر اویلر

برای انتگرال‌هایی که به صورت $\sqrt{ax^2 + bx + c}$ هستند، می‌توان از تغییر متغیر اویلر استفاده کرد. در اینجا چندین روش تغییر متغیر اویلر وجود دارد، اما برای این مثال، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$x + 2 = \sqrt{x^2 + 4x - 4} \cdot t$

در اینجا $t$ متغیر جدید است.

قدم دوم: مشتق‌گیری و جایگذاری

ابتدا مشتق $t$ را نسبت به $x$ پیدا می‌کنیم:

$dx = \sqrt{x^2 + 4x - 4} \cdot dt$

با استفاده از این تغییر متغیر، انتگرال به فرم زیر تبدیل می‌شود:

$\int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{t}$

که این انتگرال به شکل ساده‌تر خواهد بود:

$\int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t} + C$

قدم سوم: بازگرداندن متغیر به $x$

در این مرحله، $t$ را به $x$ بازمی‌گردانیم. از رابطه $x + 2 = \sqrt{x^2 + 4x - 4} \cdot t$، $t$ به صورت زیر است:

$t = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x - 4}}$

بنابراین جواب نهایی انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$-\frac{\sqrt{x^2 + 4x - 4}}{x + 2} + C$

آیا به جزئیات بیشتری نیاز دارید یا سوال دیگری دارید؟
در ادامه 5 سوال مرتبط برای بررسی و مطالعه بیشتر:

1. روش‌های دیگر حل انتگرال‌های حاوی رادیکال چیست؟
2. چطور می‌توان تغییر متغیر اویلر مناسب را انتخاب کرد؟
3. چه نوع انتگرال‌هایی را می‌توان با روش اویلر حل کرد؟
4. تفاوت تغییر متغیر اویلر با روش‌های معمولی در چیست؟
5. چه معادلات دیفرانسیلی را می‌توان با استفاده از تغییر متغیر اویلر حل کرد؟

نکته: در حل انتگرال‌ها با استفاده از تغییر متغیر اویلر، انتخاب فرم مناسب تغییر متغیر برای سادگی محاسبات بسیار حیاتی است.