Untuk menghitung integral dari $9x^2 \sqrt{x^3 - 1} \, dx$, kita bisa menggunakan substitusi.

Diberikan integral: $\int 9x^2 \sqrt{x^3 - 1} \, dx$

Langkah 1: Substitusi

Misalkan: $u = x^3 - 1$ Sehingga, turunan $u$ terhadap $x$ adalah: $\frac{du}{dx} = 3x^2 \Rightarrow dx = \frac{du}{3x^2}$

Langkah 2: Substitusi ke Integral

Dengan substitusi di atas, kita dapat mengganti $x^2$ dan $dx$ dalam integral: $\int 9x^2 \sqrt{x^3 - 1} \, dx = \int 9x^2 \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3x^2}$ Sederhanakan dengan membatalkan $x^2$: $= \int 9 \cdot \frac{\sqrt{u}}{3} \, du = \int 3 \sqrt{u} \, du$

Langkah 3: Integrasikan

Kita sekarang memiliki integral dalam bentuk $\int 3 \sqrt{u} \, du$: $= \int 3 u^{1/2} \, du$ Integralkan dengan menambahkan 1 pada pangkat dan membaginya dengan pangkat baru: $= 3 \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = 2 u^{3/2}$

Langkah 4: Kembali ke Variabel Asli

Ingat bahwa $u = x^3 - 1$, sehingga: $= 2 (x^3 - 1)^{3/2} + C$

Hasil Akhir

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah: $\int 9x^2 \sqrt{x^3 - 1} \, dx = 2 (x^3 - 1)^{3/2} + C$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut, atau ada pertanyaan?

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara memilih substitusi yang tepat dalam integral?
2. Mengapa kita perlu mengembalikan ke variabel asli setelah substitusi?
3. Bagaimana cara menghitung integral dengan bentuk pangkat pecahan?
4. Apa hubungan antara integral dan turunan dalam konteks substitusi?
5. Bagaimana kita memverifikasi hasil dari integral ini?

Tip: Saat menghadapi integral yang melibatkan bentuk komposit, substitusi dengan turunan dalam integran sering kali sangat membantu.