Para resolver la integral

$\int x\sqrt{2x^2+9} \, dx,$

utilizaremos un enfoque directo aplicando fórmulas de integración conocidas, en este caso mediante una sustitución adecuada.

Pasos para resolver:

1. Identificamos la estructura: Observamos que $2x^2 + 9$ es una función cuadrática cuya derivada está relacionada con $x$. Esto sugiere una sustitución que simplificará la raíz.

2. Sustitución: Sea $u = 2x^2 + 9$, entonces $du = 4x \, dx$.

   De la sustitución, se tiene: $x \, dx = \frac{1}{4} du.$

   Sustituyendo $u$ en la integral: $\int x\sqrt{2x^2+9} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} \, du = \frac{1}{4} \int u^{1/2} \, du.$

3. Resolvemos la integral: Utilizamos la regla de potencia para integrar: $\int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}.$

   Entonces: $\frac{1}{4} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{6} u^{3/2}.$

4. Volvemos a la variable original: Recordemos que $u = 2x^2 + 9$. Por lo tanto: $\int x\sqrt{2x^2+9} \, dx = \frac{1}{6} (2x^2 + 9)^{3/2} + C,$ donde $C$ es la constante de integración.

Respuesta final:

$\int x\sqrt{2x^2+9} \, dx = \frac{1}{6} (2x^2 + 9)^{3/2} + C.$

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¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o cómo se deriva la fórmula general?
Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de potencia en integrales?
2. ¿Qué otras integrales se pueden resolver mediante sustitución?
3. ¿Cuáles son las condiciones para usar la sustitución $u$?
4. ¿Cómo se identifica si una integral se puede resolver con este método?
5. ¿Qué relación tiene esta técnica con las integrales definidas?

Tip: Al identificar una raíz cuadrada con un término cuadrático dentro, verifica si su derivada está presente para considerar sustituciones.