Для вычисления данного неопределенного интеграла:

$\int \left(\frac{3x - 9}{\sqrt{x^2 + 81}}\right) \, dx$

мы можем разложить интеграл на две части:

$\int \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 81}} \, dx - \int \frac{9}{\sqrt{x^2 + 81}} \, dx.$

1. Для первого интеграла:

$\int \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 81}} \, dx$

Применим подстановку: $u = x^2 + 81$, тогда $du = 2x \, dx$.

$\int \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 81}} \, dx = \int \frac{3x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{3}{2} \int u^{-1/2} \, du$

$= \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{u} = 3\sqrt{x^2 + 81}.$

2. Для второго интеграла:

$\int \frac{9}{\sqrt{x^2 + 81}} \, dx$

Это табличный интеграл вида:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}|.$

Здесь $a = 9$, значит:

$9 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 81}} = 9 \ln|x + \sqrt{x^2 + 81}|.$

Объединяя оба результата, получаем общий ответ:

$\int \left(\frac{3x - 9}{\sqrt{x^2 + 81}}\right) \, dx = 3\sqrt{x^2 + 81} - 9 \ln|x + \sqrt{x^2 + 81}| + C,$

где $C$ — константа интегрирования.

Хотите ли вы подробнее разобрать решение или у вас есть вопросы?

5 Вопросов для дальнейшего изучения:

1. Хотите узнать, как применять подстановки в более сложных интегралах?
2. Интересуетесь ли интегрированием рациональных функций?
3. Нужна ли помощь с тригонометрическими подстановками в интегралах?
4. Хотите рассмотреть интегралы с радикалами и их преобразование?
5. Есть ли интерес к методам интегрирования по частям?

💡 Совет:

При работе с интегралами, содержащими корни квадратных выражений, тригонометрические подстановки могут значительно упростить вычисление!