Soal ini berkaitan dengan supremum (sup) dan infimum (inf) dalam himpunan bilangan real $\mathbb{R}$. Misalkan $S$ adalah himpunan bagian tak kosong dari $\mathbb{R}$ yang terbatas di bawah, kita diminta membuktikan bahwa:

$\inf(S) = - \sup(-S),$ di mana $-S = \{-s : s \in S \}$ adalah himpunan yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen $S$ dengan -1.

Bukti:

1. Definisi Infimum dan Supremum:

• Infimum dari $S$ adalah bilangan real $m$ yang memenuhi dua kondisi:

  • $m \leq s$ untuk setiap $s \in S$, artinya $m$ adalah batas bawah $S$.
  • Jika $l$ adalah batas bawah $S$ lain, maka $l \leq m$, artinya $m$ adalah batas bawah terbesar.

• Supremum dari suatu himpunan $T$ (dalam hal ini $-S$) adalah bilangan real $M$ yang memenuhi dua kondisi:

  • $M \geq t$ untuk setiap $t \in T$, artinya $M$ adalah batas atas $T$.
  • Jika $L$ adalah batas atas $T$ yang lain, maka $M \leq L$, artinya $M$ adalah batas atas terkecil.

2. Hubungan Antara $S$ dan $-S$:

Misalkan $m = \inf(S)$. Artinya, $m$ adalah batas bawah terbesar dari himpunan $S$, yaitu:

$m \leq s \quad \text{untuk semua} \quad s \in S.$

Sekarang, mari kita lihat himpunan $-S = \{-s : s \in S \}$. Jika $m = \inf(S)$, maka untuk setiap $s \in S$, kita punya:

$m \leq s \quad \text{berarti} \quad -s \leq -m \quad \text{untuk semua} \quad s \in S.$

Jadi, $-m$ adalah batas atas dari $-S$.

3. Menemukan Supremum dari $-S$:

Karena $-m$ adalah batas atas dari himpunan $-S$, dan kita tahu bahwa supremum adalah batas atas terkecil, maka kita punya:

$\sup(-S) = -m.$

Dengan kata lain:

$-m = \sup(-S).$

4. Kesimpulan:

Dari hubungan ini, kita mendapatkan:

$m = -\sup(-S).$

Karena $m = \inf(S)$, maka hasil akhirnya adalah:

$\inf(S) = -\sup(-S).$

Ini membuktikan pernyataan tersebut.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau contoh soal terkait? Berikut adalah beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan topik ini:

1. Apa perbedaan antara supremum dan maksimum?
2. Bagaimana definisi infimum dan supremum berperan dalam analisis himpunan tak terbatas?
3. Mengapa penting untuk memahami batas atas dan batas bawah dalam kalkulus?
4. Bagaimana cara menemukan infimum dan supremum dari suatu fungsi kontinu?
5. Apa hubungan antara infimum, supremum, dan nilai ekstrem suatu fungsi?

Tip: Dalam analisis real, supremum dan infimum memberikan cara untuk bekerja dengan himpunan yang tidak memiliki nilai maksimum atau minimum secara eksplisit.