Для доказательства утверждения, что $\sup\{-a_n\} = -\inf\{a_n\},$ если $a_n$ — невозрастающая последовательность, рассмотрим основные свойства невозрастающих последовательностей и определение супремума и инфимума.

1. Определение инфимума и супремума:

   Пусть $a_n$ — невозрастающая последовательность, тогда для любого $n$ и $m > n$ выполняется $a_m \leq a_n$. В силу невозрастания последовательности $a_n$, множество её значений ограничено сверху первым элементом $a_1$ и имеет нижнюю грань, которую мы обозначим как $\inf\{a_n\}$.

   Рассмотрим теперь последовательность $-a_n$. Поскольку $a_n$ невозрастает, то последовательность $-a_n$ будет неубывающей. Следовательно, для множества значений $-a_n$ существует супремум, обозначим его $\sup\{-a_n\}$.

2. Равенство супремума и противоположного инфимума:

   В силу свойств супремума и инфимума:

   • Супремум множества $\{-a_n\}$ есть наименьшая верхняя грань для последовательности $-a_n$.
   • Инфимум множества $\{a_n\}$ есть наибольшая нижняя грань для последовательности $a_n$.

   Поскольку $-a_n$ является неубывающей последовательностью, то её супремум равен $-\inf\{a_n\}$.

3. Заключение:

   Таким образом, мы доказали, что $\sup\{-a_n\} = -\inf\{a_n\}.$

Если у вас есть дополнительные вопросы, я готов ответить.

---

1. Что такое супремум и инфимум множества и как они определяются?
2. Как изменяются свойства последовательности при умножении на -1?
3. Почему для невозрастающей последовательности $a_n$ последовательность $-a_n$ является неубывающей?
4. Как доказать, что у неубывающей последовательности всегда существует супремум?
5. Чем отличаются ограниченные и неограниченные последовательности в контексте супремума и инфимума?

Совет: При изучении свойств последовательностей и их границ, полезно визуализировать их поведение на числовой оси.