Докажи, что $$ \text{sup\textbraceleft-a\_n\textbraceright}=-\text{inf\textbraceleft a\_n\textbraceright} $$ если $$ a_{n} $$ невозрастающая последовательность

Для доказательства утверждения, что
\[
\sup\{-a_n\} = -\inf\{a_n\},
\]
если $ a_n $ — невозрастающая последовательность, рассмотрим основные свойства невозрастающих последовательностей и определение супремума и инфимума.

1. **Определение инфимума и супремума:** 

   Пусть $ a_n $ — невозрастающая последовательность, тогда для любого $ n $ и $ m > n $ выполняется $ a_m \leq a_n $. В силу невозрастания последовательности $ a_n $, множество её значений ограничено сверху первым элементом $ a_1 $ и имеет нижнюю грань, которую мы обозначим как $ \inf\{a_n\} $.

   Рассмотрим теперь последовательность $ -a_n $. Поскольку $ a_n $ невозрастает, то последовательность $ -a_n $ будет неубывающей. Следовательно, для множества значений $ -a_n $ существует супремум, обозначим его $ \sup\{-a_n\} $.

2. **Равенство супремума и противоположного инфимума:** 

   В силу свойств супремума и инфимума:
   - Супремум множества $ \{-a_n\} $ есть наименьшая верхняя грань для последовательности $ -a_n $.
   - Инфимум множества $ \{a_n\} $ есть наибольшая нижняя грань для последовательности $ a_n $.
   
   Поскольку $ -a_n $ является неубывающей последовательностью, то её супремум равен $ -\inf\{a_n\} $.

3. **Заключение:**

   Таким образом, мы доказали, что
   \[
   \sup\{-a_n\} = -\inf\{a_n\}.
   \]

Если у вас есть дополнительные вопросы, я готов ответить. 

---

1. Что такое супремум и инфимум множества и как они определяются?
2. Как изменяются свойства последовательности при умножении на -1?
3. Почему для невозрастающей последовательности $a_n$ последовательность $ -a_n $ является неубывающей?
4. Как доказать, что у неубывающей последовательности всегда существует супремум?
5. Чем отличаются ограниченные и неограниченные последовательности в контексте супремума и инфимума?

**Совет:** При изучении свойств последовательностей и их границ, полезно визуализировать их поведение на числовой оси.

Explore a proof that demonstrates the relationship sup{-a_n} = -inf{a_n} for non-increasing sequences. This problem delves into the properties of suprema and infima, especially useful for university students studying calculus and sequence properties.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation