Olgu $X \neq \emptyset$ ja $Y \neq \emptyset$ sellised reaalarvude hulgad, et $x \leq y$ kõikide $x \in X$ ja $y \in Y$ korral. Peame tõestama, et $X$ on ülalt tõkestatud, $Y$ on alt tõkestatud, ja $\sup X \leq \inf Y$.

1. Sammsammuline tõestus

Samm 1: Ülemine tõke hulgal $X$

Eeldame, et $x \leq y$ kõikide $x \in X$ ja $y \in Y$ korral. Valime mingi $y_0 \in Y$, kuna $Y \neq \emptyset$. Kuna iga $x \in X$ korral kehtib $x \leq y_0$, siis on $y_0$ ülemine tõke hulgale $X$.

Seega on $X$ ülalt tõkestatud ja eksisteerib hulga $X$ ülemine raja $\sup X$.

Samm 2: Alumine tõke hulgal $Y$

Samamoodi valime mingi $x_0 \in X$, kuna $X \neq \emptyset$. Kuna iga $y \in Y$ korral kehtib $x_0 \leq y$, siis on $x_0$ alumine tõke hulgale $Y$.

Seega on $Y$ alt tõkestatud ja eksisteerib hulga $Y$ alumine raja $\inf Y$.

Samm 3: Seos $\sup X \leq \inf Y$

Teame, et iga $x \in X$ ja $y \in Y$ korral kehtib $x \leq y$. Kuna $\sup X$ on hulga $X$ suurim ülemine tõke ja $\inf Y$ on hulga $Y$ väikseim alumine tõke, siis peab kehtima, et $\sup X \leq \inf Y$.

Kokkuvõte:

Oleme tõestanud:

• $X$ on ülalt tõkestatud.
• $Y$ on alt tõkestatud.
• $\sup X \leq \inf Y$.

Kui soovid täpsemaid detaile või sul on küsimusi, küsi julgelt!

---

Siin on mõned seotud küsimused, mida võiksid uurida:

1. Mis on ülemise ja alumise raja täpsemad definitsioonid?
2. Kuidas tõestada, et $\sup X$ ja $\inf Y$ eksisteerivad, kui hulgad $X$ ja $Y$ on mitte-tühjad?
3. Kuidas seda tulemust laiendada, kui hulgad $X$ ja $Y$ on keerulisemad, näiteks mitmedimensioonilised?
4. Kuidas seotud on ülalt/alalt tõkestatuse omadused ja hulga tihedus?
5. Kuidas on see tulemus seotud intervallide vahega reaalarvudel?

Tip: Kui mingi hulk on ülalt või alt tõkestatud, siis tema raja leidmine põhineb alati määratluse kaudu kaasatud raja omadustel.