. Olgu X ̸= ∅ ja Y ̸= ∅ sellised reaalarvude hulgad, et x ⩽ y kõikide x ∈ X ja y ∈ Y korral. Tõestage, et X on ülalt ja Y on alt tõkestatud ning sup X ⩽ inf Y .

Olgu \( X \neq \emptyset \) ja \( Y \neq \emptyset \) sellised reaalarvude hulgad, et \( x \leq y \) kõikide \( x \in X \) ja \( y \in Y \) korral. Peame tõestama, et \( X \) on ülalt tõkestatud, \( Y \) on alt tõkestatud, ja \( \sup X \leq \inf Y \).

### 1. Sammsammuline tõestus

#### Samm 1: Ülemine tõke hulgal \( X \)
Eeldame, et \( x \leq y \) kõikide \( x \in X \) ja \( y \in Y \) korral. Valime mingi \( y_0 \in Y \), kuna \( Y \neq \emptyset \). Kuna iga \( x \in X \) korral kehtib \( x \leq y_0 \), siis on \( y_0 \) ülemine tõke hulgale \( X \).

Seega on \( X \) ülalt tõkestatud ja eksisteerib hulga \( X \) ülemine raja \( \sup X \).

#### Samm 2: Alumine tõke hulgal \( Y \)
Samamoodi valime mingi \( x_0 \in X \), kuna \( X \neq \emptyset \). Kuna iga \( y \in Y \) korral kehtib \( x_0 \leq y \), siis on \( x_0 \) alumine tõke hulgale \( Y \).

Seega on \( Y \) alt tõkestatud ja eksisteerib hulga \( Y \) alumine raja \( \inf Y \).

#### Samm 3: Seos \( \sup X \leq \inf Y \)
Teame, et iga \( x \in X \) ja \( y \in Y \) korral kehtib \( x \leq y \). Kuna \( \sup X \) on hulga \( X \) suurim ülemine tõke ja \( \inf Y \) on hulga \( Y \) väikseim alumine tõke, siis peab kehtima, et \( \sup X \leq \inf Y \).

### Kokkuvõte:
Oleme tõestanud:
- \( X \) on ülalt tõkestatud.
- \( Y \) on alt tõkestatud.
- \( \sup X \leq \inf Y \).

Kui soovid täpsemaid detaile või sul on küsimusi, küsi julgelt!

---

Siin on mõned seotud küsimused, mida võiksid uurida:

1. Mis on ülemise ja alumise raja täpsemad definitsioonid?
2. Kuidas tõestada, et \( \sup X \) ja \( \inf Y \) eksisteerivad, kui hulgad \( X \) ja \( Y \) on mitte-tühjad?
3. Kuidas seda tulemust laiendada, kui hulgad \( X \) ja \( Y \) on keerulisemad, näiteks mitmedimensioonilised?
4. Kuidas seotud on ülalt/alalt tõkestatuse omadused ja hulga tihedus?
5. Kuidas on see tulemus seotud intervallide vahega reaalarvudel?

**Tip:** Kui mingi hulk on ülalt või alt tõkestatud, siis tema raja leidmine põhineb alati määratluse kaudu kaasatud raja omadustel.

Olgu X ≠ ∅ ja Y ≠ ∅ sellised reaalarvude hulgad, et x ⩽ y kõikide x ∈ X ja y ∈ Y korral. Tõestage, et X on ülalt ja Y on alt tõkestatud ning sup X ⩽ inf Y.

Explore the proof that for non-empty real number sets X and Y, where every x in X is less than or equal to every y in Y, X is bounded above, Y is bounded below, and sup X ⩽ inf Y. This problem covers key concepts in real analysis and is suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation