Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N 2n^(2n+1) +3^(2n+1) est divisible par 5

Pour démontrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), l'expression \( 2^{2n+1} + 3^{2n+1} \) est divisible par 5, on procède de la manière suivante :

### Étape 1 : Initialisation (n=0)

On doit vérifier la propriété pour \( n = 0 \). 
L'expression devient alors :
\[
2^{2 \times 0 + 1} + 3^{2 \times 0 + 1} = 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5
\]
Or, \( 5 \) est bien divisible par 5.

Donc la propriété est vraie pour \( n = 0 \).

### Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que la propriété soit vraie pour un certain \( n = k \), c'est-à-dire que :
\[
2^{2k+1} + 3^{2k+1} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5)
\]
Cela signifie que \( 2^{2k+1} + 3^{2k+1} \) est divisible par 5.

### Étape 3 : Pas de récurrence

Montrons que la propriété est également vraie pour \( n = k+1 \). 

L'expression à vérifier devient :
\[
2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+1} = 2^{2k+3} + 3^{2k+3}
\]
On veut montrer que cette expression est divisible par 5.

On sait que :
\[
2^{2k+3} = 2^{2k+1} \times 2^2 \quad \text{et} \quad 3^{2k+3} = 3^{2k+1} \times 3^2
\]
Donc :
\[
2^{2k+3} + 3^{2k+3} = 4 \times 2^{2k+1} + 9 \times 3^{2k+1}
\]
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, \( 2^{2k+1} + 3^{2k+1} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5) \). Ainsi, on peut écrire :
\[
2^{2k+1} \equiv -3^{2k+1} \ (\text{mod} \ 5)
\]
Cela nous donne :
\[
4 \times 2^{2k+1} + 9 \times 3^{2k+1} = 4 \times (-3^{2k+1}) + 9 \times 3^{2k+1}
\]
En simplifiant :
\[
= (-12 + 9) \times 3^{2k+1} = -3 \times 3^{2k+1}
\]
Sachant que \( 3 \times 3^{2k+1} \) est divisible par 5 (car \( 3^2 \equiv -1 \text{ mod } 5 \)), cela prouve que l'expression \( 2^{2k+3} + 3^{2k+3} \) est aussi divisible par 5.

### Conclusion

Par le principe de récurrence, on a montré que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 2^{2n+1} + 3^{2n+1} \) est divisible par 5.

### Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir la compréhension :
1. Pourquoi l'initialisation est-elle nécessaire dans une démonstration par récurrence ?
2. Comment appliquer l'hypothèse de récurrence pour des expressions plus complexes ?
3. Pouvez-vous identifier des propriétés similaires de divisibilité avec d'autres bases ?
4. Quelle est la signification de l'expression \( \equiv \ (\text{mod} \ 5) \) dans ce contexte ?
5. Pourquoi les puissances de 2 et 3 se répètent-elles dans des cycles modulaires différents ?

**Tip :** En général, la démonstration par récurrence suit trois étapes essentielles : l'initialisation, l'hypothèse de récurrence, et le pas de récurrence.

Learn how to prove by induction that for all natural numbers n, the expression 2^(2n+1) + 3^(2n+1) is divisible by 5. This problem involves mathematical induction and modular arithmetic. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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