Pour démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'expression $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ est divisible par 5, on procède de la manière suivante :

Étape 1 : Initialisation (n=0)

On doit vérifier la propriété pour $n = 0$. L'expression devient alors : $2^{2 \times 0 + 1} + 3^{2 \times 0 + 1} = 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ Or, $5$ est bien divisible par 5.

Donc la propriété est vraie pour $n = 0$.

Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que la propriété soit vraie pour un certain $n = k$, c'est-à-dire que : $2^{2k+1} + 3^{2k+1} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5)$ Cela signifie que $2^{2k+1} + 3^{2k+1}$ est divisible par 5.

Étape 3 : Pas de récurrence

Montrons que la propriété est également vraie pour $n = k+1$.

L'expression à vérifier devient : $2^{2(k+1)+1} + 3^{2(k+1)+1} = 2^{2k+3} + 3^{2k+3}$ On veut montrer que cette expression est divisible par 5.

On sait que : $2^{2k+3} = 2^{2k+1} \times 2^2 \quad \text{et} \quad 3^{2k+3} = 3^{2k+1} \times 3^2$ Donc : $2^{2k+3} + 3^{2k+3} = 4 \times 2^{2k+1} + 9 \times 3^{2k+1}$ Or, d'après l'hypothèse de récurrence, $2^{2k+1} + 3^{2k+1} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 5)$. Ainsi, on peut écrire : $2^{2k+1} \equiv -3^{2k+1} \ (\text{mod} \ 5)$ Cela nous donne : $4 \times 2^{2k+1} + 9 \times 3^{2k+1} = 4 \times (-3^{2k+1}) + 9 \times 3^{2k+1}$ En simplifiant : $= (-12 + 9) \times 3^{2k+1} = -3 \times 3^{2k+1}$ Sachant que $3 \times 3^{2k+1}$ est divisible par 5 (car $3^2 \equiv -1 \text{ mod } 5$), cela prouve que l'expression $2^{2k+3} + 3^{2k+3}$ est aussi divisible par 5.

Conclusion

Par le principe de récurrence, on a montré que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ est divisible par 5.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir la compréhension :

1. Pourquoi l'initialisation est-elle nécessaire dans une démonstration par récurrence ?
2. Comment appliquer l'hypothèse de récurrence pour des expressions plus complexes ?
3. Pouvez-vous identifier des propriétés similaires de divisibilité avec d'autres bases ?
4. Quelle est la signification de l'expression $\equiv \ (\text{mod} \ 5)$ dans ce contexte ?
5. Pourquoi les puissances de 2 et 3 se répètent-elles dans des cycles modulaires différents ?

Tip : En général, la démonstration par récurrence suit trois étapes essentielles : l'initialisation, l'hypothèse de récurrence, et le pas de récurrence.