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この問題の解法がこれになる理由を日本語で説明してください。

この問題の解法について、以下のように日本語で説明します。

### 1. 問題の確認（上の画像の2番の問題について）
**問題**: 2つの定点 \( A(1, 2) \)、\( B(1, 4) \) からの距離の差が 1 となる点 \( P(x, y) \) の軌跡の方程式を求める。

**解法**:
この問題は、点 \( P(x, y) \) が2つの定点 \( A(1, 2) \) と \( B(1, 4) \) からの距離の差が一定である点の軌跡を表す問題です。これは「双曲線」の定義に該当します。具体的には、2つの定点からの距離の差が一定である点の集合は、双曲線を形成します。

#### 2. 解法のステップ
1. **双曲線の性質の利用**:
   双曲線は、焦点 \( F_1 \) と \( F_2 \) からの距離の差が一定である点の集合です。この場合、定点 \( A(1, 2) \) と \( B(1, 4) \) が焦点に相当し、点 \( P(x, y) \) がその双曲線上にあると考えられます。

2. **距離の公式の使用**:
   点 \( P(x, y) \) から定点 \( A(1, 2) \)、および定点 \( B(1, 4) \) までの距離は次のように表されます。
   \[
   \text{点} A(1, 2) までの距離: \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2}
   \]
   \[
   \text{点} B(1, 4) までの距離: \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 4)^2}
   \]

3. **条件式の構築**:
   この問題では、「2つの定点からの距離の差が1」という条件が与えられています。したがって、次のような式を立てます。
   \[
   |\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 4)^2} - \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2}| = 1
   \]
   この式は、点 \( P(x, y) \) が双曲線上にあるという条件を表しています。

4. **方程式の変形**:
   この条件式を変形していくと、双曲線の標準形に変換することができます。変形の過程は少し複雑ですが、最終的に次のような双曲線の方程式が得られます。
   \[
   \frac{(y - 3)^2}{4} - \frac{(x - 1)^2}{1} = 1
   \]
   ここで、双曲線の中心は \( (1, 3) \) であり、縦軸が主軸の形の双曲線が得られます。

### 結論
問題は双曲線の定義に基づいており、2点間の距離の差が一定であるという条件から、軌跡の方程式が双曲線の形になることがわかります。

他にご質問や詳しい説明が必要な場合はお知らせください。

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### 追加質問の提案:
1. 双曲線の標準形とは何ですか？
2. 双曲線の焦点距離の定義はどのように計算されますか？
3. この問題で用いた距離の公式はどのように定義されていますか？
4. この双曲線の方程式の変形過程を詳細に説明できますか？
5. 楕円と双曲線の違いを説明してください。

**Tip**: 双曲線の定義は、焦点からの距離の差が一定である点の集合です。

2つの定点A(1, 2), B(1, 4)からの距離の差が1となる点P(x, y)の軌跡の方程式を求めよ。

Solve the equation of the locus for point P(x, y), where the difference in distance from fixed points A(1, 2) and B(1, 4) is 1. Explore the hyperbola's definition and apply the distance formula to derive the standard equation.

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