Рассмотрим задачу и проанализируем, действительно ли в графе описанных свойств есть хотя бы одна вершина степени 2.

Условия:

1. Граф содержит $n$ вершин:
   • а) $n = 15$
   • б) $n = 14$
2. Каждая вершина входит в путь длины 3 (путь вида $v_1 - v_2 - v_3 - v_4$).
3. Каждая вершина соединена не более чем с тремя другими, то есть степень любой вершины $\Delta(v) \leq 3$.

Наша задача: доказать или опровергнуть, что в графе существует хотя бы одна вершина степени 2.

---

Решение:

1. Максимальная степень вершины: $\Delta(v) \leq 3$

Каждая вершина соединена максимум с тремя другими. Это накладывает ограничение на структуру графа: он может быть построен как $3$-регулярный граф, $2$-регулярный граф (цикл) или граф со смешанными степенями.

2. Путь длины 3

Условие, что каждая вершина входит в путь длины 3, гарантирует, что:

• Нет изолированных вершин.
• Граф связан (в противном случае в изолированных подграфах могли бы появляться вершины, не входящие в путь длины 3).

3. Доказательство наличия вершины степени 2

Теперь проанализируем, можно ли построить граф, где все вершины имеют степени либо только 1, либо 3:

• Если у вершины степень 1, то она не может входить в путь длины 3 (так как путь длины 3 требует соединения как минимум с двумя вершинами). Следовательно, все вершины степени 1 исключаются.

• Если граф $3$-регулярный (все вершины имеют степень 3), то каждая вершина действительно входит в путь длины 3. Однако для $n = 15$ и $n = 14$ невозможно построить $3$-регулярный граф, так как $n$ должно быть четным (для $3$-регулярных графов это обязательное условие).

• Таким образом, в графе остаются вершины смешанных степеней $2$ и $3$. Следовательно, в графе обязательно найдется хотя бы одна вершина степени 2.

---

Вывод:

Да, в графе обязательно есть хотя бы одна вершина степени 2. Это утверждение верно как для $n = 15$, так и для $n = 14$, так как невозможно построить $3$-регулярный граф при данных $n$, а наличие только вершин степени 1 противоречит условию вхождения в путь длины 3.

---

Если у вас есть вопросы или нужны дополнительные пояснения, дайте знать!

Вопросы для размышления:

1. Как доказать невозможность построения $3$-регулярного графа для $n = 14$ или $n = 15$?
2. Какие дополнительные свойства можно вывести для графов, в которых каждая вершина входит в путь длины $k$?
3. Как изменится задача, если $\Delta(v) \leq 4$?
4. Как построить конкретный пример графа для $n = 14$ или $n = 15$, удовлетворяющего условиям задачи?
5. Могут ли вершины степени 1 присутствовать в графе при изменении условий?

Совет:

При анализе графов всегда полезно начинать с попытки построить пример и проверить гипотезу экспериментально.