Давайте рассмотрим ваш вопрос о графе на 10 вершинах с 37 рёбрами и висячей вершиной.

1. Общие свойства графа

• Количество рёбер в графе на $n$ вершинах не может превышать $\frac{n(n-1)}{2}$, так как это максимальное количество рёбер в полном графе (где каждую пару вершин соединяют рёбра).
• Для графа на 10 вершинах, максимальное количество рёбер будет: $\frac{10(10-1)}{2} = 45 \text{ рёбер}.$ Таким образом, 37 рёбер — это меньше, чем максимальное количество рёбер, и это возможно для некоторого графа.

2. Висячая вершина

• Висячая вершина — это вершина, у которой степень равна 1, то есть она соединена только с одной другой вершиной.

3. Анализ степени вершин

Обозначим степени вершин графа как $d_1, d_2, \dots, d_{10}$, где $d_i$ — степень $i$-й вершины.

• Сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному количеству рёбер: $d_1 + d_2 + \dots + d_{10} = 2 \times 37 = 74.$
• Для того чтобы в графе была висячая вершина, например, пусть $d_1 = 1$, так как эта вершина будет соединена только с одной вершиной. Тогда сумма степеней оставшихся вершин должна быть: $d_2 + d_3 + \dots + d_{10} = 74 - 1 = 73.$
• Таким образом, степени остальных 9 вершин должны в сумме давать 73. Это вполне возможно, так как каждая из этих вершин может иметь степень больше 1.

4. Строительство графа

• Мы можем конструировать граф, где одна вершина имеет степень 1 (висячая вершина), а остальные 9 вершин имеют степени, которые суммарно составляют 73. Это также соответствует нашему требованию иметь 37 рёбер.

Заключение

Да, существует граф на 10 вершинах с 37 рёбрами и висячей вершиной.

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите узнать подробнее, не стесняйтесь спрашивать!

---

Похожие вопросы:

1. Как вычислить количество рёбер в графе для заданного количества вершин?
2. Что такое степень вершины в графе?
3. Как можно конструировать граф с заданным количеством рёбер?
4. Могут ли два графа с одинаковым количеством рёбер и вершин быть изоморфными?
5. Что такое полный граф и какие у него свойства?

Совет: При построении графов важно помнить, что сумма степеней всех вершин всегда будет чётной, так как каждое ребро увеличивает степень двух вершин одновременно.