Чтобы ответить на этот вопрос, давайте внимательно разберем условия задачи:

1. Граф на 15 вершинах (пункт а):

   • Каждая вершина входит в путь длины 3.
   • Каждая вершина соединена не более чем с тремя другими вершинами.

2. Граф на 14 вершинах (пункт б):

   • Тот же набор условий.

Задача состоит в том, чтобы определить, существует ли в этом графе хотя бы одна вершина степени 2.

Разбор

1. Условие "каждая вершина входит в путь длины 3": Путь длины 3 — это последовательность из 4 вершин, где каждая вершина соединена с соседними (например, A — B — C — D). Это условие значит, что для каждой вершины существует такой путь, в котором она участвует. То есть, каждая вершина должна быть частью некоторой цепочки из четырех вершин, где соседние вершины соединены рёбрами.

2. Условие "каждая вершина соединена не более чем с тремя другими вершинами": Это ограничение на степень вершин: ни одна вершина не может иметь степень больше 3. То есть, каждая вершина может быть соединена максимум с тремя другими вершинами.

Доказательство для графа на 15 вершинах (пункт а)

Пусть у нас есть граф с 15 вершинами, в котором выполняются указанные условия. Попробуем построить такой граф.

• Так как каждая вершина входит в путь длины 3, она должна быть частью цепочки длиной не менее 4 вершин. Для графа с 15 вершинами это означает, что рёбра должны быть распределены таким образом, чтобы каждая вершина "участвовала" хотя бы в одном пути длины 3.

• Если бы все вершины имели степень 3, то мы могли бы представить граф как некоторое множество циклов или связных компонентов, где каждая вершина соединена с тремя другими. Но тогда не получится, чтобы все вершины входили в пути длины 3, потому что для этого необходимо, чтобы вершины были соединены в линию (цепочку).

• Поэтому хотя бы одна вершина должна иметь степень 2, чтобы обеспечить нужные пути. Если бы все вершины имели степень 3, то это нарушало бы требование о наличии пути длины 3 для каждой вершины.

Таким образом, в графе с 15 вершинами должна быть хотя бы одна вершина степени 2.

Доказательство для графа на 14 вершинах (пункт б)

Аналогичные рассуждения можно применить и к графу с 14 вершинами. Даже при уменьшении числа вершин требование, чтобы каждая вершина входила в путь длины 3, всё равно заставляет нас искать вершины степени 2.

Таким образом, и в графе с 14 вершинами должна быть хотя бы одна вершина степени 2.

Ответ:

Да, в обоих графах (на 15 и 14 вершинах) существует хотя бы одна вершина степени 2.

---

Хотите рассмотреть дополнительные примеры или разъяснения по этой задаче? Вот несколько вопросов, которые могут быть полезны:

1. Как бы выглядел граф на 15 вершинах, если бы все вершины имели степень 3?
2. Как влияет количество рёбер на структуру графа в подобных задачах?
3. Какие ещё типы графов могут удовлетворять этим условиям?
4. Что произойдёт, если количество рёбер будет больше или меньше, чем в данном примере?
5. Как можно доказать существование пути длины 3 для каждой вершины в других типах графов?

Совет: Для построения графов с ограничениями на степень можно использовать методы перебора или графы с фиксированными степенями, что помогает визуализировать структуру графа.