en una progrecion geometrica , el primer termino es 3 y el sexto termino es 96.
a) halle la razón
b)halle el menor valor de n para el cual an>3000

Una progresión geométrica (PG) tiene la forma general:

\[
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
\]

donde:
- \(a_n\) es el término n-ésimo,
- \(a_1\) es el primer término,
- \(r\) es la razón común,
- \(n\) es la posición del término en la sucesión.

### a) Hallar la razón \(r\)

Sabemos que:
- El primer término es \(a_1 = 3\),
- El sexto término es \(a_6 = 96\).

Utilizamos la fórmula del término general:

\[
a_6 = a_1 \cdot r^{6-1}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
96 = 3 \cdot r^5
\]

Despejamos \(r^5\):

\[
r^5 = \frac{96}{3} = 32
\]

\[
r = \sqrt[5]{32}
\]

Como \(32 = 2^5\), tenemos:

\[
r = 2
\]

Entonces, la razón es \(r = 2\).

---

### b) Hallar el menor valor de \(n\) tal que \(a_n > 3000\)

Utilizamos de nuevo la fórmula del término general:

\[
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
a_n = 3 \cdot 2^{n-1}
\]

Queremos encontrar el menor valor de \(n\) tal que:

\[
3 \cdot 2^{n-1} > 3000
\]

Dividimos ambos lados entre 3:

\[
2^{n-1} > 1000
\]

Ahora aplicamos el logaritmo en base 2 a ambos lados:

\[
n-1 > \log_2(1000)
\]

Calculamos el valor de \(\log_2(1000)\):

\[
\log_2(1000) \approx 9.97
\]

Entonces:

\[
n - 1 > 9.97
\]

\[
n > 10.97
\]

Por lo tanto, el menor valor entero de \(n\) es \(n = 12\).

---

### Resumen:
a) La razón de la progresión es \(r = 2\).  
b) El menor valor de \(n\) tal que \(a_n > 3000\) es \(n = 12\).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo afecta la razón en una progresión geométrica a los valores futuros?
2. ¿Qué ocurre si \(a_1\) fuera diferente pero \(r\) se mantiene igual?
3. ¿Cómo se resolvería el problema si la razón fuera fraccionaria?
4. ¿Cómo se usa el logaritmo en base distinta de 2 en este tipo de problemas?
5. ¿Qué aplicaciones tienen las progresiones geométricas en la vida real?

**Tip**: En una progresión geométrica, el crecimiento es exponencial. La razón determina cuán rápido o lento crecen los términos.

en una progrecion geometrica , el primer termino es 3 y el sexto termino es 96. a) halle la razón b)halle el menor valor de n para el cual an>3000

Learn how to solve a geometric progression problem where the first term is 3 and the sixth term is 96. Find the common ratio and the smallest value of n where the nth term exceeds 3000 using geometric progression formulas and logarithms. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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