Una progresión geométrica (PG) tiene la forma general:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

donde:

• $a_n$ es el término n-ésimo,
• $a_1$ es el primer término,
• $r$ es la razón común,
• $n$ es la posición del término en la sucesión.

a) Hallar la razón $r$

Sabemos que:

• El primer término es $a_1 = 3$,
• El sexto término es $a_6 = 96$.

Utilizamos la fórmula del término general:

$a_6 = a_1 \cdot r^{6-1}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$96 = 3 \cdot r^5$

Despejamos $r^5$:

$r^5 = \frac{96}{3} = 32$

$r = \sqrt[5]{32}$

Como $32 = 2^5$, tenemos:

$r = 2$

Entonces, la razón es $r = 2$.

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b) Hallar el menor valor de $n$ tal que $a_n > 3000$

Utilizamos de nuevo la fórmula del término general:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Queremos encontrar el menor valor de $n$ tal que:

$3 \cdot 2^{n-1} > 3000$

Dividimos ambos lados entre 3:

$2^{n-1} > 1000$

Ahora aplicamos el logaritmo en base 2 a ambos lados:

$n-1 > \log_2(1000)$

Calculamos el valor de $\log_2(1000)$:

$\log_2(1000) \approx 9.97$

Entonces:

$n - 1 > 9.97$

$n > 10.97$

Por lo tanto, el menor valor entero de $n$ es $n = 12$.

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Resumen:

a) La razón de la progresión es $r = 2$.
b) El menor valor de $n$ tal que $a_n > 3000$ es $n = 12$.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la razón en una progresión geométrica a los valores futuros?
2. ¿Qué ocurre si $a_1$ fuera diferente pero $r$ se mantiene igual?
3. ¿Cómo se resolvería el problema si la razón fuera fraccionaria?
4. ¿Cómo se usa el logaritmo en base distinta de 2 en este tipo de problemas?
5. ¿Qué aplicaciones tienen las progresiones geométricas en la vida real?

Tip: En una progresión geométrica, el crecimiento es exponencial. La razón determina cuán rápido o lento crecen los términos.