В данной задаче нам нужно найти девятый член геометрической прогрессии, зная третий и шестой члены.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $a$, а её знаменатель — как $q$.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$a_n = a \cdot q^{n-1}$

Из условия задачи:

• Третий член прогрессии: $a_3 = a \cdot q^2 = 1$
• Шестой член прогрессии: $a_6 = a \cdot q^5 = \frac{1}{3}$

Теперь, используя эти два уравнения, можем решить систему.

1. $a \cdot q^2 = 1$ — (1)
2. $a \cdot q^5 = \frac{1}{3}$ — (2)

Шаг 1: Выразим $a$ из первого уравнения

Из уравнения (1) получаем:

$a = \frac{1}{q^2}$

Шаг 2: Подставим выражение для $a$ во второе уравнение

Подставим $a = \frac{1}{q^2}$ в уравнение (2):

$\frac{1}{q^2} \cdot q^5 = \frac{1}{3}$

Упростим:

$q^3 = \frac{1}{3}$

Шаг 3: Найдем значение $q$

Из уравнения $q^3 = \frac{1}{3}$ получаем:

$q = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Шаг 4: Найдем девятый член

Теперь, чтобы найти девятый член прогрессии, используем формулу для $a_9$:

$a_9 = a \cdot q^8$

Подставим значение $a = \frac{1}{q^2}$ и $q = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$:

$a_9 = \frac{1}{q^2} \cdot q^8 = q^6$

Теперь вычислим $q^6$:

$q^6 = \left( \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right)^6 = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Таким образом, девятый член прогрессии равен $\frac{1}{9}$.

Ответ: $a_9 = \frac{1}{9}$

Если нужны дополнительные разъяснения или есть вопросы по решению, не стесняйтесь спрашивать!

Дополнительные вопросы:

1. Как вычислить общий вид члена геометрической прогрессии, если даны первые два члена?
2. Что происходит с прогрессией, если знаменатель $q$ меньше 1?
3. Как доказать, что сумма бесконечной геометрической прогрессии сходится, если $|q| < 1$?
4. Какие особенности есть у геометрической прогрессии, если её знаменатель равен 1?
5. Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии?

Совет: Для решения задач на геометрические прогрессии полезно всегда иметь под рукой основные формулы для членов прогрессии и их сумм.