Come si poassa dalla prima espressione alla seconda? Prima: [(1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ … ⋅ (1 + iN)] 1/N - 1= i*. Seconda: [( i1) ⋅ (i2) ⋅ (iN)] 1/N = i*

Per passare dalla prima espressione alla seconda, analizziamo attentamente le due espressioni e il processo di trasformazione.

### Prima espressione:
\[
\left( (1 + i_1) \cdot (1 + i_2) \cdot \dots \cdot (1 + i_N) \right)^{\frac{1}{N}} - 1 = i^*
\]

Questa rappresenta la media geometrica dei termini \( (1 + i_k) \), con \( k = 1, 2, \dots, N \), e poi si sottrae 1 dal risultato.

### Seconda espressione:
\[
\left( i_1 \cdot i_2 \cdot \dots \cdot i_N \right)^{\frac{1}{N}} = i^*
\]

Questa espressione rappresenta invece la media geometrica dei soli \( i_k \), senza il "+1" presente nella prima espressione.

#### Passaggio:

L'idea è che se nella prima espressione \( i_k \) rappresenta i tassi di rendimento individuali, l'operazione che viene eseguita è simile al calcolo del **tasso medio di crescita** o del **tasso di rendimento medio**. Questo si ottiene spesso sottraendo 1 alla media geometrica dei fattori \( 1 + i_k \), poiché \( 1 + i_k \) rappresenta i fattori di crescita. In altre parole, la prima espressione è un modo per calcolare il rendimento medio, mentre la seconda espressione sembra riguardare direttamente la media geometrica dei tassi di crescita.

Per arrivare dalla prima alla seconda espressione, è necessario **assumere che i valori \( i_1, i_2, \dots, i_N \) siano molto piccoli**. In questo caso, si può approssimare:

\[
1 + i_k \approx e^{i_k}
\]

per \( i_k \) piccoli. Allora la moltiplicazione di termini \( (1 + i_1)(1 + i_2)\dots(1 + i_N) \) può essere approssimata come:

\[
(1 + i_1)(1 + i_2)\dots(1 + i_N) \approx e^{i_1} \cdot e^{i_2} \cdot \dots \cdot e^{i_N} = e^{i_1 + i_2 + \dots + i_N}
\]

In questo modo, la media geometrica diventa:

\[
\left( (1 + i_1) \cdot (1 + i_2) \cdot \dots \cdot (1 + i_N) \right)^{\frac{1}{N}} - 1 \approx e^{\frac{1}{N}(i_1 + i_2 + \dots + i_N)} - 1
\]

Per piccoli valori di \( i_k \), l'esponenziale può essere approssimato con una serie di Taylor:

\[
e^x \approx 1 + x \quad \text{per} \quad x \text{ piccolo}
\]

Quindi:

\[
e^{\frac{1}{N}(i_1 + i_2 + \dots + i_N)} - 1 \approx \frac{1}{N}(i_1 + i_2 + \dots + i_N)
\]

Perciò, in questa approssimazione, la prima espressione diventa simile alla media geometrica dei \( i_k \), che porta alla seconda espressione:

\[
\left( i_1 \cdot i_2 \cdot \dots \cdot i_N \right)^{\frac{1}{N}} = i^*
\]

In sintesi, il passaggio dalla prima alla seconda espressione è possibile sotto l'ipotesi che i tassi di rendimento siano abbastanza piccoli, consentendo l'uso di un'approssimazione esponenziale.

---

Hai domande o vuoi maggiori dettagli su qualche passaggio?

### 5 Domande relative:
1. Cosa rappresenta il tasso di rendimento medio?
2. Come si applica l'approssimazione esponenziale per piccoli valori di \( i_k \)?
3. Qual è la differenza tra media geometrica e media aritmetica?
4. In quali contesti si usa questa trasformazione nel calcolo dei rendimenti finanziari?
5. Come si potrebbe generalizzare questo processo per \( N \) molto grande?

### Consiglio:
Ricorda che l'approssimazione esponenziale è utile solo per valori piccoli di \( i_k \); per valori più grandi, la precisione diminuisce.

Come si passa dalla prima espressione alla seconda? Prima: [(1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ … ⋅ (1 + iN)] 1/N - 1 = i*. Seconda: [(i1) ⋅ (i2) ⋅ (iN)] 1/N = i*

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