[(1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ … ⋅ (1 + iN)] 1/N - 1= i*       Come si può semplificare questa espressione?

L'espressione data è:

\[
\left[(1 + i_1) \cdot (1 + i_2) \cdot \ldots \cdot (1 + i_N)\right]^{\frac{1}{N}} - 1 = i^*
\]

Questa rappresenta una media geometrica degli elementi \( 1 + i_1, 1 + i_2, \ldots, 1 + i_N \), seguita da una sottrazione di 1. Vediamo come semplificarla.

### Semplificazione

1. **Espressione originale**: 
   
   \[
   \left[(1 + i_1) \cdot (1 + i_2) \cdot \ldots \cdot (1 + i_N)\right]^{\frac{1}{N}} - 1
   \]

2. **Media geometrica**: 
   
   La media geometrica degli \( N \) termini \( (1 + i_k) \) è definita come:

   \[
   G = \left[(1 + i_1) \cdot (1 + i_2) \cdot \ldots \cdot (1 + i_N)\right]^{\frac{1}{N}}
   \]

3. **Semplificazione**: 

   Dopo aver calcolato la media geometrica, sottraiamo 1:

   \[
   i^* = G - 1 = \left[(1 + i_1) \cdot (1 + i_2) \cdot \ldots \cdot (1 + i_N)\right]^{\frac{1}{N}} - 1
   \]

Questa espressione, \( i^* \), rappresenta una misura media dei tassi \( i_1, i_2, \ldots, i_N \) che tiene conto della composizione geometrica piuttosto che della media aritmetica, tipica in contesti finanziari per tassi di rendimento composti.

### Interpretazione

- **Se \( i_k \) rappresentano tassi di crescita o di rendimento**, allora \( i^* \) rappresenta un tasso medio composto. Questa è spesso usata per determinare il rendimento medio annuo di un investimento che ha diversi rendimenti annuali.

### Conclusione

L'espressione è già nella sua forma semplificata, e descrive esattamente ciò che rappresenta: una media geometrica dei valori \( 1 + i_k \), meno 1.

---

Hai altre domande su questa semplificazione? 

### Domande relative:
1. Come si calcola la media geometrica di un insieme di valori?
2. Qual è la differenza tra media aritmetica e media geometrica?
3. In quali contesti si utilizza la media geometrica?
4. Come si applica questa formula ai rendimenti di un investimento?
5. Quali proprietà ha la media geometrica rispetto ad altre medie?

### Tip:
La media geometrica è particolarmente utile quando si trattano percentuali o tassi di crescita, poiché tiene conto della composizione nel tempo.

[(1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ … ⋅ (1 + iN)] ^ (1/N) - 1 = i*. Come si può semplificare questa espressione?

Learn how to simplify the geometric mean expression [(1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ … ⋅ (1 + iN)] ^ (1/N) - 1 = i*, which is commonly used to find the average compound growth rate in finance. This guide explains key concepts like the geometric mean and its application to financial rates of return.

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