 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thoả mãn phương trình hàm:
 f (x+y)+xy= f(x)f(y), ∀x,y∈R

Ta cần tìm tất cả các hàm số \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình hàm:

\[
f(x + y) + xy = f(x)f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}
\]

**Bước 1: Thử \( y = 0 \)**

Thay \( y = 0 \) vào phương trình gốc:

\[
f(x + 0) + x \cdot 0 = f(x)f(0) \Rightarrow f(x) = f(x)f(0)
\]

Suy ra:

\[
f(x)(1 - f(0)) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

Có hai khả năng:

1. \( f(0) = 1 \)
2. \( f(x) = 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \)

**Trường hợp 1: \( f(0) = 1 \)**

Giả sử \( f(0) = 1 \), thay vào phương trình gốc:

\[
f(x + y) + xy = f(x)f(y)
\]

**Bước 2: Thử \( x = y \)**

Thay \( x = y \) vào phương trình:

\[
f(2x) + x^2 = f(x)^2
\]

Do đó:

\[
f(2x) = f(x)^2 - x^2
\]

**Bước 3: Giả sử \( f(x) = x + 1 \)**

Ta thử kiểm tra hàm \( f(x) = x + 1 \) có thỏa mãn phương trình gốc hay không. Ta thay \( f(x) = x + 1 \) vào phương trình ban đầu:

\[
f(x + y) + xy = (x + y + 1) + xy = x + y + 1 + xy
\]
và

\[
f(x)f(y) = (x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1
\]

Hai vế bằng nhau, do đó hàm \( f(x) = x + 1 \) là một nghiệm của phương trình.

**Trường hợp 2: \( f(x) = 0 \)**

Hàm số \( f(x) = 0 \) cũng thỏa mãn phương trình gốc, vì:

\[
f(x + y) + xy = 0 + xy = xy
\]
và

\[
f(x)f(y) = 0 \cdot 0 = 0
\]

Vế trái và vế phải bằng nhau, nên hàm \( f(x) = 0 \) cũng là nghiệm.

**Kết luận:**

Có hai nghiệm của phương trình hàm:

1. \( f(x) = 0 \), với mọi \( x \in \mathbb{R} \)
2. \( f(x) = x + 1 \), với mọi \( x \in \mathbb{R} \)

---

Bạn có muốn giải thích thêm hoặc có câu hỏi nào khác không?

Dưới đây là 5 câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để chứng minh phương trình hàm bằng cách thử các giá trị cụ thể?
2. Có thể tồn tại nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm đã tìm thấy không?
3. Phương trình hàm này có ứng dụng gì trong các bài toán thực tế?
4. Các phương pháp nào khác ngoài thử giá trị có thể được áp dụng để giải phương trình hàm?
5. Tại sao phải thử \( y = 0 \) hoặc \( x = y \) để đơn giản hóa bài toán?

**Mẹo:** Khi giải phương trình hàm, bước đầu tiên thường là thử các giá trị đặc biệt như \( x = 0 \), \( y = 0 \) hoặc \( x = y \) để đơn giản hóa phương trình.

Tìm tất cả các hàm số f :R→R thoả mãn phương trình hàm: f(x+y) + xy = f(x)f(y), ∀x,y∈R

Explore the solution of the functional equation f(x+y) + xy = f(x)f(y) for real-valued functions. This involves algebraic methods and testing specific values such as f(0) and x = y. Suitable for advanced high school students and undergraduates.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation