Untuk menyelesaikan soal dari gambar yang Anda unggah, mari kita selesaikan setiap contoh satu per satu dengan menggunakan konsep komposisi fungsi, grafik, dan matriks.

Contoh 45

Diberikan fungsi:

• $g = \{(1, w), (2, u), (3, v)\}$ yang memetakan $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{w, u, v\}$
• Fungsi $f = \{(w, x), (u, y), (v, z)\}$ yang memetakan $B = \{w, u, v\}$ ke $C = \{x, y, z\}$

Fungsi komposisi dari $A$ ke $C$, yaitu $f \circ g$, dapat ditentukan sebagai berikut:

• Untuk $x = 1$: $g(1) = w$, kemudian $f(w) = x$, maka $(f \circ g)(1) = x$.
• Untuk $x = 2$: $g(2) = u$, kemudian $f(u) = y$, maka $(f \circ g)(2) = y$.
• Untuk $x = 3$: $g(3) = v$, kemudian $f(v) = z$, maka $(f \circ g)(3) = z$.

Sehingga, komposisi fungsi $f \circ g = \{(1, x), (2, y), (3, z)\}$.

Contoh 46

Diberikan fungsi:

• $f(x) = x^2 + 1$
• $g(x) = x + 1$

Tentukan $f \circ g$ dan $g \circ f$.

Penyelesaian:

1. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1)$ Hitung $f(x+1)$: $f(x+1) = (x + 1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 2.$ Maka, $(f \circ g)(x) = x^2 + 2x + 2$.

2. Fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$: $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1)$ Hitung $g(x^2 + 1)$: $g(x^2 + 1) = (x^2 + 1) + 1 = x^2 + 2.$ Maka, $(g \circ f)(x) = x^2 + 2$.

Menggunakan Grafik dan Matriks

Untuk menggambarkan kedua fungsi komposisi, kita bisa memplot grafik $f \circ g$ dan $g \circ f$ pada bidang kartesius:

1. Grafik $f \circ g(x) = x^2 + 2x + 2$: Ini adalah grafik dari sebuah parabola yang terbuka ke atas dengan puncak di titik minimum.

2. Grafik $g \circ f(x) = x^2 + 2$: Ini juga merupakan grafik parabola yang terbuka ke atas, tetapi lebih sederhana dibandingkan dengan $f \circ g(x)$.

Untuk representasi matriks, jika kita memiliki vektor input dalam bentuk kolom, komposisi fungsi bisa dilihat sebagai produk dari matriks yang merepresentasikan transformasi fungsi $f$ dan $g$.

Apakah Anda ingin melanjutkan dengan analisis lebih mendalam, atau Anda memiliki pertanyaan spesifik? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang bisa memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara menentukan komposisi fungsi jika domain dan kodomain lebih besar?
2. Bagaimana cara menggambarkan grafik dari fungsi non-linear seperti $f(x)$ dan $g(x)$?
3. Bagaimana cara mengubah fungsi menjadi representasi matriks dan bagaimana cara mengalikannya?
4. Apa aplikasi dari fungsi komposisi dalam kehidupan nyata atau dalam pemrograman?
5. Bagaimana efek perubahan koefisien pada fungsi kuadrat terhadap bentuk grafiknya?

Tip: Komposisi fungsi adalah dasar dari banyak konsep dalam matematika seperti kalkulus dan aljabar linear, yang memiliki aplikasi luas di bidang teknik, fisika, dan ilmu komputer.