Math Problem Statement
Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD, если известно, что она лежит на оси Оz, а объем тетраэдра равен 3 A(3, -5, -3), B(4, 4, 2), C(1, 8, 5)
Solution
Давайте обозначим координаты четвертой вершины тетраэдра D как , так как она лежит на оси , и нам нужно найти .
1. Объем тетраэдра:
Объем тетраэдра с вершинами , , и можно вычислить по формуле:
x_A & y_A & z_A & 1 \\ x_B & y_B & z_B & 1 \\ x_C & y_C & z_C & 1 \\ x_D & y_D & z_D & 1 \end{vmatrix} \right|$$ Дано, что $$V = 3$$. Это означает, что определитель должен быть равен: $$\left| \begin{vmatrix} x_A & y_A & z_A & 1 \\ x_B & y_B & z_B & 1 \\ x_C & y_C & z_C & 1 \\ x_D & y_D & z_D & 1 \end{vmatrix} \right| = 18$$ ### 2. Подставим координаты точек: Точки $$A(3, -5, -3)$$, $$B(4, 4, 2)$$, $$C(1, 8, 5)$$ и $$D(0, 0, z_D)$$ подставляем в матрицу: $$\left| \begin{vmatrix} 3 & -5 & -3 & 1 \\ 4 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 8 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & z_D & 1 \end{vmatrix} \right| = 18$$ ### 3. Развернем определитель: Теперь развернем определитель по последнему столбцу: $$\left| \begin{vmatrix} 3 & -5 & -3 & 1 \\ 4 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 8 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & z_D & 1 \end{vmatrix} \right| = 1 \cdot \left| \begin{vmatrix} 3 & -5 & -3 \\ 4 & 4 & 2 \\ 1 & 8 & 5 \end{vmatrix} \right| - 0 + 0 + 0$$ Таким образом, остается вычислить определитель $$3 \times 3$$: $$\left| \begin{vmatrix} 3 & -5 & -3 \\ 4 & 4 & 2 \\ 1 & 8 & 5 \end{vmatrix} \right|$$ ### 4. Вычисление определителя $$3 \times 3$$: Рассчитаем этот определитель: $$\begin{vmatrix} 3 & -5 & -3 \\ 4 & 4 & 2 \\ 1 & 8 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} \right| - (-5) \cdot \left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \right| + (-3) \cdot \left| \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} \right|$$ Вычислим каждый из этих определителей: $$\left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} \right| = 4 \cdot 5 - 8 \cdot 2 = 20 - 16 = 4$$ $$\left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \right| = 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 20 - 2 = 18$$ $$\left| \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} \right| = 4 \cdot 8 - 1 \cdot 4 = 32 - 4 = 28$$ Теперь подставим их в исходное выражение: $$\begin{vmatrix} 3 & -5 & -3 \\ 4 & 4 & 2 \\ 1 & 8 & 5 \end{vmatrix} = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 18 - 3 \cdot 28$$ $$= 12 + 90 - 84 = 18$$ ### 5. Подставим в уравнение объема: Так как объем равен 3, то из уравнения $$18 \cdot z_D = 18$$ находим: $$z_D = 1$$ ### Ответ: Координаты точки $$D$$ равны $$(0, 0, 1)$$. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать! --- 1. Как вычисляется объем тетраэдра с использованием определителей? 2. Как использовать развертывание определителя для упрощения вычислений? 3. Почему важно использовать координаты всех точек для нахождения объема? 4. Как другие методы, например, метод векторного произведения, применяются для нахождения объема тетраэдра? 5. Какие существуют другие геометрические методы нахождения объемов многогранников? **Совет**: Для вычисления объемов многогранников важно правильно учитывать порядок точек и их расположение в пространстве.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Geometry
Determinants
Tetrahedron Volume
Matrix Operations
Formulas
V = 1/6 * |det([x_A, y_A, z_A, 1], [x_B, y_B, z_B, 1], [x_C, y_C, z_C, 1], [x_D, y_D, z_D, 1])|
determinant of 3x3 matrix
Theorems
Cramer's Rule for determinants
Volume formula for a tetrahedron
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
Find the Volume of a Tetrahedron with Given Vertex Coordinates
Calculate Volume of a Tetrahedron with Vertices (5, 4, -3), (-6, -6, -5), (4, -6, -4), (0, 0, 10)
Volume of Tetrahedron with Vertices A(3, -2, 2), B(-3, 0, -1), C(1, -4, 2), D(6, -3, 1)
Volume of Tetrahedron Bounded by the Plane x/a + y/b + z/c = 1
Calculate the Volume of a Tetrahedron with Given Vertices