Обозначим задуманное число как $\overline{abcd}$, где $a$, $b$, $c$, и $d$ — цифры числа. Исходя из условий, имеем:

1. $d = 0$ или $d = 5$ (так как число делится на 5).
2. $c = 2b$ (цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков).
3. $a + d = \frac{10b + c}{4}$ (сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа $10b + c$).
4. $a = c + 2$ (цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 2).

Из второго условия подставим $c = 2b$ в третье условие:

$a + d = \frac{10b + 2b}{4} = \frac{12b}{4} = 3b.$

Теперь учтем, что $a = c + 2 = 2b + 2$. Подставим это в уравнение $a + d = 3b$:

$(2b + 2) + d = 3b.$

Отсюда $d = b - 2$.

Теперь проверим возможные значения $d$, так как $d$ может быть либо 0, либо 5 (из условия делимости на 5).

1. Если $d = 0$, то $b - 2 = 0$, то есть $b = 2$. Тогда $c = 2b = 4$, $a = 2b + 2 = 6$. Получаем число $6240$. Проверим:

• Делится на 5: да, $6240$ делится на 5.
• $c = 2b$: да, $4 = 2 \times 2$.
• $a + d = 3b$: $6 + 0 = 6$, $3 \times 2 = 6$, условие выполняется.
• $a = c + 2$: $6 = 4 + 2$, условие выполняется.

Таким образом, задуманное число — это 6240.